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25.2.1 配方法
课时1 直接开平方法
1. 理解一元二次方程降次的转化思想，会运用直接开平方法解形如 x2 = p 或 (x+n)2 = p (p≥0) 的方程.
2. 熟练运用直接开平方法解一元二次方程.
通过消元转化成一元一次方程
将一元二次方程降为一元一次方程
问题1 请同学们回想，二元一次方程组、三元一次方程组是采用什么方法来求解的呢？
问题2 我们如何将一元二次方程转化成一元一次方程来解呢
思考1 根据平方根的意义解下列的方程：
x2=4.
根据平方根的意义，得 x = ±2 ，
即 x1 = 2， x2 = -2.
这个过程叫做直接开平方
利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．
试一试 解下列方程，并说明你所用的方法.
(1) x2=25
(2) x2=0
(3) x2+1=0
解：根据平方根的意义，得x1=5， x2=-5.
解：根据平方根的意义，得x1=x2=0.
解：整理，得x2 = - 1，
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
思考2 若 x2=p ，则x的值是多少呢？
方程左边x2≥0，右边p的取值不确定，可能是正数、0或负数，因此要分类讨论.
(2)当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
(3)当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根.
一般地，对于方程 x2 = p ，
(1)当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根
x1=，x2=；
情境 李林从工人师傅那获悉，一个大桶油漆可刷的面积为 2 400 dm2，这桶油漆恰好能刷完比妈妈房间柜子的棱长长 2 dm的8个正方体柜子的全部外表面，你能算出妈妈房间柜子的棱长吗？
解：设妈妈房间柜子的棱长为x dm，则大桶油漆要刷的每个正方体柜子的表面积为
6(x+2)2 dm2，
根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
8×6 (x+2)2 = 2400.
整理，得 (x+2)2= 50 .
x dm
这个方程可以直接开平方吗？
思考3 对照 x2 = 4的解法，试一试怎样解方程 (x+2)2= 50
将x+2看成一个整体
解： (x+2)2=50
直接开平方得
即
解得
一元二次方程
一元一次方程
降次
因为棱长不能是负值，所以柜子的棱长为 () dm.
用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义.
思考4 从以上的解法中，你发现了什么？
一元二次方程
(代数式)2=常数
一元一次方程
转化
开平方
降次
解一元二次方程的思路是将方程转化为 ( x + m )2 = p的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当 p ≥ 0 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根.
用直接开平方法解一元二次方程的步骤:(1)将方程化为x2＝p或(mx＋n)2＝p ( p ≥ 0，m≠0)的形式；(2)直接开平方化为两个一元一次方程；(3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
(1) 2x2 - 900=x2；
解：(1)移项，得
x2 = 900.
直接开平方，得
x = ±30，
即x1=30，x2=－30.
用直接开平方法解下列方程：
(2) x - 6x + 9 =16.
解：(2) x - 6x+9 = (x - 3) = 16
直接开平方，得
x - 3 = ±4 ，
即x1= 7
，x2= -1 .
利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．
直接开
平方法
x2＝p的根的情况
概念
(1)化方程为x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0,m≠0)的形式；
(2)直接开平方化为两个一元一次方程；
(3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
步骤
1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
D
2.方程 (2x-1)2+m=0 有实数解，则m的取值范围是________.
m≤0
C. 4(x-1)2=9，解方程，得4(x-1)=±3, x1= ; x2=
D. (2x+3)2=25，解方程，得2x+3=±5, x1= 1；x2=-4
A. x2=-2，解方程，得 x=±
B. (x-2)2=4，解方程，得 x-2=2，x=4
3.解下列方程：
(1) x2-36=0； (2) 2(x-8)2=50.
解：移项，得：
x2=36，
开方，得：
x1=6，x2= -6.
解：整理，得：(x-8)2=25
开方，得：x-8=5 或 x-8=-5
解得：x1=13 或 x2=3.
4.在实数范围内定义运算“ ”，其法则为：a b = a2 - b2，求方程(4 3) x = 24的解.
解：∵a b = a2 - b2，
∴(4 3) x = (42 - 32) x = 7 x = 72 - x2，
∴ 72 - x2 = 24，
∴ x2 = 25，
∴ x = ±5.

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