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25.3 实际问题与一元二次方程
课时3 循环问题
能正确分析“循环问题”中的数量关系，并列出一元二次方程解决相关实际问题.
问题1（本章第一节中的排球邀请赛问题）：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛
每个队要和其他(n-1)个队比赛一场.
两个队之间只需要比赛一场
所以n个队共有 场比赛.
第1队
···
其他(n-1)个参赛队
第2队
第3队
第n队
解：设应邀请支球队参赛，所以可列得方程
整理并化简，得
x2-x-56=0.
解方程，得x1=8，x2=-7（不合题意，舍去）
因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛.
问题1（本章第一节中的排球邀请赛问题）：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛
问题2：中秋将至, 小雯、小智和他们的好朋友在准备互送一些贺卡. 若他们共送贺卡72张, 则这个他们共有多少人
(1)若互送贺卡的人数共3人, 共需要送出贺卡____张;
(2)若互送贺卡的人数共4人, 共需要送出贺卡____张;
(3)若互送贺卡的人数共5人, 共需要送出贺卡____张;
(4)若互送贺卡的人数共n人, 共需要送出贺卡_________张.
6
12
20
n(n－1)
解：设他们共有x人.
x(x－1)＝72
解得x1＝9，x2＝－8(舍去)
∴他们共有9人.
问题2：中秋将至, 小雯、小智和他们的好朋友在准备互送一些贺卡. 若他们共送贺卡72张, 则这个他们共有多少人
这两种计数问题有什么不同？
两两之间只计数1次
总数=
总数=
两两之间会计数2次
单循环问题
双循环问题
例 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算的对吗？为什么？
分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如果有支球队参赛，那么比赛的总场数为
假设这个算得对，即支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么
解方程，得
由于1201不是完全平方数，所以不可能为整数.
因此，总场数不可能为300，这个人算的不对.
解：设共有 人参加聚会，根据题意得
解方程，得 （不合题意，舍去）
答：共有 个人参加聚会．
1.聚会上，每两人都握 次手，所有人共握手 次，共有多少人
2.随着中考结束, 初三某毕业班的每一个同学都向其他同学曾送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片, 若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为( ).
A. x(x 1)＝2256 B. x(x＋1)＝2256
C. 2x(x 1)＝2256 D. 12x(x 1)＝2256
A
问题3：一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形 是否存在有18条对角线的多边形 如果存在，它是几边形 如果不存在，说明理由.
A1
A2
A3
An–1
An
思考：这是单循环问题还是双循环问题？和前面的问题有什么不一样？
边形一共可以作 条对角线.
单循环问题. n边形从每个顶点出发，可连接除自身和相邻2个顶点外的 (n 3) 个顶点形成对角线，每条对角线只计数一次.
问题3：一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形 是否存在有18条对角线的多边形 如果存在，它是几边形 如果不存在，说明理由.
解：设这个凸多边形为 边形，根据题意得
解方程，得 （不合题意，舍去）
答：这个凸多边形为 边形．
A1
A2
A3
An–1
An
解：假设存在有18条对角线的凸多边形，即 边形共有18条对角线，那么
解方程，得
由于 不是完全平方数，所以 不可能为整数.
因此，不存在有18条对角线的凸多边形．
问题3：一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形 是否存在有18条对角线的多边形 如果存在，它是几边形 如果不存在，说明理由.
A1
A2
A3
An–1
An
类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数
单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、 签合同问题、照相问题......
双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡......
多边形对角线 每两个元素之间算一次 凸 n 边形对角线条数问题
n(n – 1)
1.在一次酒会上, 每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为( ).
A. 9人 B. 10人
C. 11人 D. 12人
C
2.已知一个凸多边形的对角线条数是 14，那么这个多边形的边数是________.
7
A1
A2
A3
An–1
An
3.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为多少？
解：设九年级班级的个数为n，则：
n(n-1)=12
解得n1=4，n2= - 3 (不合题意，舍去)
答：九年级班级的个数为4个.
4.某公司举办产品鉴定会，参加会议的是该公司的林经理和他邀请到的专家，在专家到会时，林经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离会时，林经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家之间都握了一次手，则所有参加会议的人共握手20次. 参加这次会议的专家有多少人
解：设参加这次会议的专家有x人. 根据题意，得
解得x1=-8(不合题意，舍去)，x2=5.
答：参加这次会议的专家有5人.

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