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江苏常州市溧阳市2025-2026学年度第二学期期末调研考试
高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
2.化简后等于( )
A. B. C. D.
3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数设事件甲“第一次点数小于”，事件乙“第一次点数为偶数”，事件丙“两次点数之和为”，事件丁“两次点数之和是奇数”，则( )
A. 事件乙和事件丙互斥 B. 事件丙和事件丁互为对立
C. 事件甲与事件丙相互独立 D. 事件乙与事件丁相互独立
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.现有个相同的盒子，里面均装有张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则( )
A. B. C. D.
6.已知一组样本数据共有个数，其平均数为，方差为将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为，则新的样本数据的方差最小值为( )
A. B. C. D.
7.在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温，一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料，若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角，，所对的边为，，，若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则( )
A.
B. 面
C. 直线与平面所成的角为
D. 四面体的体积为
10.已知，表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是( )
A. B. ，且
C. D.
11.在中，有如下四个命题正确的有
A. 若，则为锐角三角形
B. 若，则的形状为直角三角形
C. 内一点满足，则是的重心
D. 若，则点必为的外心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边若正六边形的边长为，点是其内部一点包含边界，则的取值范围为 ．
13.已知圆锥的顶点为，母线、所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
14.如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点．点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校高一年级有学生人，其中男生人，女生人为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为的样本．
求抽取男生、女生的人数
观测样本的指标值单位：，计算得到男生样本的均值为，方差为，女生样本的均值为，方差为，求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差．
16.本小题分
已知向量，，，．
求；
若，求实数的值．
若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
17.本小题分
九章算术中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点．
证明：平面；
证明：平面；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
证明：平面；
若是边长为的等边三角形点在棱上，，且三棱锥的体积为，求侧面与底面所成二面角的余弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．
设，分别为，的中点，求证：平面；
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：抽取男生人数为人，抽取女生人数为人；
根据男女生的样本均值和方差，直接计算样本总体的方差即可．
把男生样本记为，平均数记为，方差记为；
把女生样本记为，平均数记为，方差记为；
把样本数据的平均数记为，方差记为；
根据平均数的定义，总样本均值为：；
根据方差的定义，总样本方差为：
，
由，可得：，
同理，．
因此，
，
总样本的方差为，估计高一年级全体学生的身高方差为．

16.【答案】解：因为，，，．
，，
，，解得．
与的夹角是钝角，，且，
，且，解得且．

17.【答案】解：作的中点，连接，
由得分别为的中点，
所以且，
又因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面；
因为，为的中点，所以，
因为底面，底面，所以，
又因为平面，且，
所以平面，平面，
所以，
因为，，所以，，
又因为平面，
所以平面；
连接交于点，连接，
因为点分别为的中点，
所以，
所以平面，
所以为在平面中的射影，
所以与平面所成角为，
由已知得
所以，
因为为锐角，所以，
所以与平面所成角为．

18.【答案】解：在三棱锥中，因为，为的中点，
所以，又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面；
因为点在棱上，，
又三棱锥与三棱锥底面积相同，高之比等于，
所以体积之比也为，
所以，又平面，所以为三棱锥的高，
又是边长为的等边三角形，所以，
所以，
所以，解得，
取的中点，连接、，则，又平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为侧面与底面所成二面角的平面角，
又，，平面，平面，所以，
所以，所以，
所以侧面与底面所成二面角的余弦值为．

19.【答案】解：如图所示，连接，易知，．
又由，故GH．
又因为平面，平面，所以平面．
证明：如图所示，取棱的中点，连接．
依题意，得，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
又平面，故D．
又已知，，所以平面．
解：如图所示，连接，
由中平面，可知为直线与平面所成的角．
因为为等边三角形，且为的中点，所以．
又，在中，．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．

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