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江苏盐城市阜宁县2025-2026学年度第二学期期末调研考试
高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，，则四面体的体积( )
A. 与，都有关 B. 与，都无关
C. 与有关，与无关 D. 与有关，与无关
2.已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，在复平面内，已知复数、、，对应的向量分别是，，，是虚数单位，已知则( )
A.
B.
C.
D.
5.在中，，则( )
A. B. C. D.
6.已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围( )
A. B. C. D.
7.设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点不含端点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
8.如图，在中，，，点为线段上一点，将绕翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得，记为的最小值，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，角、、所对的边分别为、、，且 ，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的外接圆的面积为
B. 若，且有两解，则的取值范围为
C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为
D. 若，且 ，为的内心，则的面积为
10.已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 若与互斥，则
B. 若与相互独立，则
C. 若，则事件与相互独立
D. 若，则
11.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有( )
A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是同一平面上的个向量，满足，则向量与的夹角为 ，若向量与的夹角为，则的最大值为 ．
13.在锐角中，，它的面积为，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则 ．
14.在锐角三角形中，若，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
求角 ；
若外接圆的半径为，求面积的最大值．
16.本小题分
已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为．
求复数
设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值．
17.本小题分
俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示：
求样本中数据落在的频率；
求样本数据的第百分位数；
若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在这一组的概率．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，利用公式其中，，，为常数，将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称为坐标变换公式，该变换公式可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，表示．
在平面直角坐标系中，已知，按照二阶矩阵变换得到点，求点的坐标；
如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点到原点距离不变，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
向量称为行向量形式，也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设二阶矩阵，，是任意两个向量，求证：．
19.本小题分
如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为已知在仿射坐标系下，．
求向量，的仿射坐标
当时，求
设，若对恒成立，求的最大值
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由 得， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ；
由 外接圆的半径为 ，则得 ，
由余弦定理得， ，即 ，
所以 ，解得 ，当且仅当时取等号，
所以 ，
故 面积的最大值为 ．

16.【答案】解：设，
由题意得，
故或，
又因为复数在复平面上对应点在第一象限，
故；
当时，，，
所以，，，
所以，，，
所以是值为．

17.【答案】解：由频率分布直方图可知，
样本中数据落在的频率为；
设第百分位数为 ，易得 位于和之间，
则有：
解得： ．
与两组的频率之比为：，
现从和两组中用分层抽样的方法抽取人，
则组抽取人，记为，，组抽取人，记为，，，，
所有可能的情况为，，，，
，，，，，，
，，，，，共种，
其中至少有人的年龄在的情况有，，，
，，，，，，共种，
故所求概率．
18.【答案】解：，．
设，，
则，，，
故
所以坐标变换公式为
该变换所对应的二阶矩阵为．
设矩阵，向量，，
则，
，
对应变换公式为：
，，
所以，
故对应变换公式同样为
所以得证．

19.【答案】解：由已知得，
所以的仿射坐标为，
同理，
所以的仿射坐标为．
当时，，，，
所以，
，
，
所以．
，
，
，
由得
得对恒成立，
又，所以，
得．
此时．
因为，，所以，所以，所以，
所以的最大值为．
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