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江苏南京市鼓楼区六校2025-2026学年高一下学期6月期末调研
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知一组数据的方差是，那么另一组数据，，，，的方差是( )
A. B. C. D.
3.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
5.在等腰中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则此圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.某数学兴趣小组利用课外实践课，测量某城市广场上的旗杆的高度在过点的水平地面上确定两个观测点，在点处测得在的北偏东方向上，米；点在点的正东方向上，米，在点处测得的仰角为则旗杆的高度为 米．
A. B. C. D.
8.已知面积为，角，，的对边分别为，，，，，，，角的平分线交于点，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则( )
A.
B.
C. 若是纯虚数，则
D. ，两点之间的距离为
10.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的有( )
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若是锐角三角形，则
11.在棱长为的正方体中，点是的中点，点是侧面含边界上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 当是正方形的中心时，与平面所成角的正弦值为
C. 若平面，则线段的最小值为
D. 若以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则
13.已知，，则
14.如图，在三棱锥中，和均为边长为的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市为了解世界杯期间本地居民对电视转播服务的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评测评分满分为分根据测评的数据制成频率分布直方图如下：
求频率分布直方图中的值；
若采用分层抽样的方式从评分在，的市民中抽取人，则从评分在内的市民中应抽取多少人
估计本次测评分数的百分位数和平均数．
16.本小题分
如图，在平行四边形中，，设，．
试用，为基底表示，；
若，，，求和的值．
17.本小题分
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且满足，
求证：；
若，求的值；
求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，底面是菱形，，平面平面，，分别为，的中点．
证明：平面；
证明：平面；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知点是直线外一点，点在直线上点与点、任一点均不重合我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：
若点在线段上，记；
若点在线段外，记．
已知在三棱锥中，侧棱平面，．的内角，，的对边分别为，，．
若点在棱的延长线上，且，由点对施以视角运算，求的值；
若点在边上，，，由点对施以视角运算，，求的最小值：
若是的边的等分点，由点对施以视角运算，求的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由频率分布直方图可知，组距为根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，
可得：，即，
解得，所以．
评分在的频率为，
评分在的频率为，
评分在的频率为．
因为采用分层抽样的方式抽取人，所以从评分在内的市民中应抽取的人数为人．
设本次测评分数的百分位数为．
前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，
所以百分位数位于第四组内
由，即，解得．
所以估计本次测评分数的百分位数为．
估计本次测评分数的平均数为：
．
所以估计本次测评分数的平均数为．

16.【答案】解：由得．
．
由得．
．
．
代入，，．
得，故．
．

17.【答案】解：证明：由已知条件，
利用二倍角公式，有，，
代入已知等式得，
因为为锐角三角形，所以，即，
所以，则，
因为和均为锐角，正切函数在上单调递增，
所以，即．
已知，由正弦定理为外接圆半径，
可得，
因为，所以，根据二信角公式，
则，将代入中，
因为是锐角，，两边同时除以可得，即，
再根据二倍角公式，可得，
又因为，是锐角，
所以，
则；
由正弦定理可得，因为，，所以，则，根据三角函数的和角公式可得，再根据二倍角公式得，，所以，因为是锐角，，两边同时除以可得，因为是锐角三角形，所以解不等式，可得；解不等式，可得，综合可得，
令，因为，所以，则，其对称轴为，函数图象开口向上，
当时，当时，，
所以，即的取值范围是

18.【答案】解：取的中点，连接，
因为在中，是的中点，是的中点，
所以是的中位线，
所以，且，
因为底面是菱形，所以，且，
因为是的中点，所以，所以，且，
所以四边形是平行四边形，从而，
因为平面，平面，
所以．
因为是边长为的正三角形，为的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为底面是菱形，，所以是等边三角形，
又是的中点，所以，
因为，所以，
由于，，且，所以平面，
因为平面，所以，
由知，所以，
在中，，，且，所以是等腰直角三角形，
因为是斜边的中点，所以，
又因为，所以，
因为，且平面，所以平面．
设点到平面的距离为。
在中，，，
所以，
因为平面，为中点，且，
所以点到平面的距离就是线段的长度，即，
所以，
在中，，，，
，
所以，
故，
所以，
由得：
解得：．

19.【答案】解：因为平面，平面，所以，
在中，则，
因为点在的延长线上，且，所以，，
在中，，
所以，
在中，由正弦定理得，
因为，且是等腰直角三角形，
所以，，
代入得，解得，
由于点在线段外，
根据定义；
点在上，根据运算新定义及三角形面积公式有，
已知，所以，即，
因为，所以，即，
所以，
展开得，
解得，所以，则，
在中，，所以，
在中，由正弦定理得，又，且，
所以，则，
令，由于，故，则，
当时，分母取得最大值，所以的最小值为；
因为点是边的等分点，所以，
点对施以视角运算，
同理，对于点，有，
两者的乘积为．

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