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江苏镇江市丹阳市2025-2026学年高一下学期6月期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有一组样本数据：，，，，，，，则下列说法中，正确的是( )
A. 中位数是 B. 平均数为 C. 极差为 D. 上四分位数为
2.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角等于( )
A. B. C. D. 或
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.先后抛掷同一枚质地均匀的正方体骰子两次，观察每次朝上的点数．则两次点数之和为的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知是关于的实系数方程的一个根，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
6.两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们相对于发射源的位移向量分别为，记粒子相对粒子的位移为向量即，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的底面半径与球的半径相等，圆锥的侧面积与球的表面积相等，圆锥的体积为，则球的半径( )
A. B. C. D.
8.在正三棱锥中，侧面与底面所成二面角的平面角为，侧棱与底面所成的线面角为，对棱所在异面直线所成的线线角为，已知，且，则侧棱的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是( )
A. 若为纯虚数，则
B. 若在复平面内所对应的点在第一象限，则
C. 若，则
D. 若的虚部为，则
10.已知非零向量，满足，且，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 向量与的夹角为
D. 若，，，则的最小值为
11.已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱，点在线段上运动，是棱的中点，下列命题为真命题的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 正四棱柱外接球的表面积为
C. 过点，，与四棱柱所成截面的形状为等腰梯形
D. 存在点使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某射击运动员在某次射击训练中次的成绩单位：环如下：，，，，，则这次训练成绩的方差为 ．
13.设，则满足条件的点的集合表示的图形的面积为 ．
14.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
三棱锥中，平面，为直角三角形，．
求证：平面平面；
若，，，点为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
某工厂生产的一批零件的长度单位：的频率分布直方图如下，已知零件长度在的频数为．
求这批零件的总数，并估计该批零件长度的平均值；
估计这批零件长度的中位数；
用分层抽样的方法从长度在和的零件中抽取个，再从这个中随机抽取个，求这个零件长度不低于的概率．
17.本小题分
已知，．
求的值；
若，且，求的值．
18.本小题分
如图，直四棱柱的底面为平行四边形，点，分别在棱，上，且，．
证明：直线平面；
若．
(ⅰ)当，点为棱上的动点时，求证：；
(ⅱ)当，异面直线与所成角的大小为时，求平面与底面所成的锐二面角的正切值．
19.本小题分
已知，，分别为锐角的三个内角，，的对边，的面积记为，且．
求角；
若，求面积的取值范围；
若，为的中点，求线段长的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：已知：平面，平面，故，
又，即，，平面，
由线面垂直判定定理得：平面，
又平面，由面面垂直判定定理：平面平面
过点 作 于，连接
由 平面，平面，得；
，，平面，所以平面，
因此 就是直线 与平面 所成的角，设为，即，
，是 中点，，
在直角中，
因为，，所以，
所以得，
，为直角三角形，
所以直线与平面所成角的正弦值是．

16.【答案】解：长度在的频率为：，频数为，所以这批零件的总数为，
各组频率依次为：
的频率：；的频率：；
的频率：；的频率：；
的频率：；的频率：．
，
该批零件长度的平均值为．
设这批零件长度的中位数为，
因为，，所以
，解得．
即这批零件长度的中位数为．
因为的频率为：；的频率为：，则两组的频率之比为，
所以在内抽取的零件个数为，记为，；
在内抽取的零件个数为，记为，，，；
则抽取到的个零件组成的样本空间为：
则，；
记事件为“取出的这个零件长度不低于”，
则，，
故这个零件长度不低于的概率为．

17.【答案】解：由，解得．
又因为，
由，得，
故原式．
因为，，由同角三角函数关系式得，．
由分析知，，由两角差的正切公式得．
由且，得；由且，得，
所以，由不等式性质得，且，
因此．

18.【答案】解：在直四棱柱中，连接，连接，
则为的中点，由，得为的中点，得，
由，得为的中点，即，
因此，且，四边形为平行四边形，则，
又平面平面，所以平面．
在直四棱柱中，连接，
在平行四边形中，由，，
为的中点，得，则，
，于是，而平面，
平面，则，又平面，
因此平面，由点为棱上的动点，得平面，
所以．
(ⅱ)延长与延长线交于点，连接，连接，
在直四棱柱中，由为的中点，得为中点，为中点，
而为的中点，则，是异面直线与所成的角或其补角，
由，得，而，则，，
因此，为正三角形，，，
于是是二面角的平面角，由平面，平面，
得，又，则，，
所以平面与底面所成的锐二面角的正切值为．

19.【答案】解：在锐角中，由及余弦定理、三角形面积公式，
得，则，
即，由，得，解得，
所以．
由得，又为锐角三角形，则，解得，
由及正弦定理，得，
而，因此，
所以面积的取值范围是．
由知，又，由正弦定理，得，
由余弦定理得，则，
由为的中点，得，则，
由令，则，
因此，，
所以线段长的取值范围是．

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