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江苏省泰州市姜堰区2025-2026学年七年级下学期6月期末
数学试题
一、选择题
1.下列中国品牌新能源车的车标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列算式中，可以用平方差公式计算的是( )
A. B. C. D.
4.下列四对数值，是二元一次方程的解的是( )
A. B. C. D.
5.在中，，则边的长度可以是 ．
A. B. C. D.
6.如图，是的高，的平分线交于点，过点作，垂足为点，交于点若，则下列结论中：；；所有正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题
7.计算： ．
8.若，，则 ．
9.“的三分之一与的和是非负数”用不等式表示为 ．
10.命题“如果，那么”的逆命题是 命题填“真”或“假”
11.若，的周长为，，则的长为 ．
12.用反证法证明命题“已知，，是三条不同的直线，如果，，那么”时，第一步应假设 ．
13.如图，在中，已知为上一点，，分别为，的中点，若，则的面积为 ．
14.若，则的值为 ．
15.已知关于的不等式组若该不等式组无解，则常数的取值范围为 ．
16.如图，中，，点是边上一点，连接并延长至点，连接，使得，若和都是锐角，则的取值范围是 ．
三、解答题
17.计算：
；
．
18.解方程组或不等式组：
；
．
19.先化简，再求值：，其中，．
20.已知关于，的二元一次方程．
若是该二元一次方程的一个解，求的值；
当时，，求的取值范围．
21.端午食粽，是节日习俗之一．某商店准备购进甲、乙两种品牌的粽子，已知乙品牌粽子每盒的进价比甲品牌粽子每盒的进价低元，购进盒甲品牌粽子和盒乙品牌粽子共元．
求甲品牌粽子每盒的进价；
某商店计划用不超过元购进甲、乙两种品牌的粽子共盒，则最少购买多少盒乙品牌粽子？
22.已知：如图，在中，平分，点在上，点在的延长线上，交于点，．
求证：．
证明：平分已知，

是的外角已知，
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知，
，
即


23.如果一个三位数是，即百位数字为，十位数字为，个位数字为，那么这个三位数可以表示为．设是一个四位数，
四位数可以表示为 用含、、、的代数式表示；
若可以被整除，请说明这个四位数可以被整除．
24.探究问题：已知，，，，那么与有怎样的数量关系？
【发现】与有两种位置关系：如图与图所示．图中与数量关系为 ；图中与数量关系为 ．
【应用】若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，且这个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数．
【拓展】若一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，且这个角比另一个角的倍少，这个角为 直接写出结果．
25.探究解题
如图，与相交于点，连接，，，点为边上一点，连接并延长交边于点，求证：；
如图，在正方形纸片的四个角上分别剪去一个相同的小正方形，记该图形的对称中心为点，仅用无刻度的直尺，画出点关于点的对称点；
如图，若点在图形内部，画出点关于点的对称点．
26.综合与实践
年是我国探月工程实施周年，学校数学兴趣小组对未来月球科研站展开设想：如图所示，月球基地舱先由若干舱段拼接成不同多边形，再通过几个多边形拼接组合搭建整体舱体．在其主舱段的中点处设有机器人充电端，机器人需沿各舱段绕行一周进行巡检，每当抵达舱段连接处，机器人调整行进方向驶入下一舱段，从原行进路线转至新行进路线所转过的最小夹角，定义为“转向角”机器人从点出发，沿各舱段绕行一周后回到点，所有“转向角”的总和称为“转向角和”如图，当机器人沿方向转向方向时，即为“转向角”．
【问题】如图，机器人从点出发沿等边三角形的边逆时针行走，走完一周回到起点，“转向角和”等于 度；
【问题】如图，科研站由两个相同的正方形舱段搭建而成，两个正方形仅有一个公共顶点，无其他交点，且机器人从点出发，无重复地走过两个正方形的所有舱段后回到起点
当时，机器人沿方向行至点，调整机身驶向下一舱段，求机器人在该位置“转向角”的度数用含的代数式表示；
当“转向角和”最小时，求的度数；
【问题】如图，科研站由正方形和正六边形搭建而成，除公共顶点外，每个正多边形均位于另一个正多边形的外部．机器人从点出发，无重复地走过两个多边形的所有舱段后回到起点当的度数发生变化时，机器人的“转向角和”是否存在最小值？若存在，请直接写出“转向角和”的最小值及此时的取值范围；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】真
11.【答案】
12.【答案】与不平行
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题】
解：
；
【小题】
解：
．

18.【答案】【小题】
解：
由可得，
解得，
将代入可得，
解得，
方程组的解为；
【小题】
解：
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为．

19.【答案】解：

；
当时，
原式．

20.【答案】【小题】
解：把代入，得，
解得．
【小题】
解：把，代入，得，
，
，
，
解得；
又关于，的二元一次方程，
；
综上：且．

21.【答案】【小题】
解：设甲品牌粽子每盒的进价为元，
根据题意得，
解得；
答：甲品牌粽子每盒的进价为元；
【小题】
解：设购买乙种品牌粽子盒，由知乙品牌粽子每盒的进价为元，
根据题意得，
解得
答：最少购买乙种品牌粽子盒．

22.【答案】角平分线的定义
等式性质
等量代换
同位角相等，两直线平行

23.【答案】【小题】
【小题】
，
，可以被整除，
又可以被整除，可以被整除，
可以被整除，
可以被整除．

24.【答案】【小题】

【小题】
解：设两个角分别为和，
由可知：或，
解得或，
或；
综上：两个角都为；或一个角为，另一个角为；
【小题】
或

25.【答案】【小题】
证明：
，，
又，
，
；
【小题】
点如图所示：
【小题】
点如图所示：

26.【答案】【小题】
【小题】
解：由题意知，机器人沿方向行至点，调整机身驶向下一舱段，
机器人有两条线路可选：，，
的“转向角”为，的“转向角”为；
由题意知，分情况讨论：
若机器人路线中存在或，
则“转向角和”为；
若机器人路线中存在或，
当时，“转向角和”为，
当时，“转向角和”为，
当时，“转向角和”为
综上所述，当“转向角和”最小为时，此时．
【小题】
解：存在，
理由：由题意知，正方形和正六边形除公共顶点外，其他顶点的转向角均为对应正多边形的外角，
正方形的外角为：，
而正方形有个非顶点，
转向角和为：，
正六边形的外角为：，
而正六边形有个非顶点，
转向角和为：，
非点的转向角和固定为：，
机器人在点有两次转向，一次从正方形到正六边形，一次从正六边形到正方形，
又正方形内角，正六边形内角，
设，需保证转向角为最小夹角，即转向角，
当从转向时，转向角取值范围为，解得：，
当从转向时，转向角取值范围为，解得：，
当时，“转向角和”的最小值为，
此时的取值范围为．

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