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江苏省无锡市锡山区2025-2026学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅图案分别代表“立春、立夏、芒种、大雪”，其中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.下列命题中的真命题是( )
A. 对顶角相等 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 两个锐角的和是钝角 D. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直
5.已知两个不等式的解集在数轴上如右图表示，那么这个解集为( )
A. B.
C. D.
6.九章算术是我国古代数学著作，其中有一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问牛、羊各直金几何？”意思是：假设头牛、只羊，共值金两；头牛、只羊，共值金两那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛和每只羊分别值金两和两，则可以列出的方程组为( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方形网格中，阴影部分是个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.如图，小明制作了类，类，类卡片各张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，要拼出一个长为，宽为的大长方形，则他准备的类卡片( )
A. 够用，剩余张 B. 不够用，还缺张 C. 够用，剩余张 D. 不够用，还缺张
9.如图，在中，是边上的一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.定义一种新运算：．
；
若，则或；
若，则；
若，则的最小值为．
以上说法正确的有( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.一块钟乳石每年大约增长，请将用科学记数法表示为 ．
12.命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为 ．
13.若，，则 ．
14.五边形的内角和为 ．
15.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：，这与三角形内角和为相矛盾，则不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设，，中有两个角是直角，不妨设正确顺序的序号排列为 ．
16.如图，把绕点逆时针旋转得到已知，则的度数为 ．
17.若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是 ．
18.将边长为的小正方形图和边长为的大正方形图按如图的位置摆放．若，则图中阴影部分的总面积 ；若，，则图中阴影部分的总面积 ．
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
19.计算：
；
．
20.解方程组、不等式组：
；
．
四、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
先化简，再求值：，其中．
22.本小题分
如图，在边长为的正方形网格中，的三个顶点，，均在格点上．
将向右平移格，再向下平移格，请在网格中画出平移后的；
将绕点顺时针旋转，请在网格图中画出旋转后的；
已知是由旋转得到的，请画出旋转中心的位置．
23.本小题分
如图，将沿射线方向平移至．
求证：；
若的周长为，，求四边形的周长．
24.本小题分
学校决定购买一批足球，用于日常教学和校园足球活动．已知：购买个品牌足球和个品牌足球共需元，购买个品牌足球和个品牌足球共需元．
求、两种品牌足球的单价各是多少元？
根据需要，学校决定购进、两种品牌的足球共个．某商店开展“优惠促销”活动：品牌足球单价优惠元，品牌足球单价打折．购买时要求：品牌足球的数量大于品牌足球数量的倍，且不超过品牌足球数量的倍．请求出总费用最少的购买方案，并求出此时总费用的最小值．
25.本小题分
“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是，其余每个数为它的上方左右两数之和．
例如，此三角形中第行的个数，，，恰好对应着展开式中的各项的系数；第行的个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题：
请写出的展开式为 ；
的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ；
代数推理：已知为整数，求证：能被整除．
26.本小题分
如图，在中，点为边上的一个定点，射线与边交于点，射线与边交于点，与关于直线对称，与关于直线对称．
如图，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ；
在图中，设，，求与满足的数量关系式；
如图，，射线从位置出发，绕点顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】如果，互为相反数，那么
13.【答案】
14.【答案】．
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】

19.【答案】【小题】
解：

；
【小题】
解：
．

20.【答案】【小题】
解：
把代入，得，解得，
把代入，得，
原方程组的解为；
【小题】
解：
解不等式，得，
解不等式，，解得，
原不等式组的解集为．

21.【答案】解：
，
其中，
原式．

22.【答案】【小题】
如图，即为所求；
【小题】
如图，即为所求；
【小题】
如图，点即为所求．

23.【答案】【小题】
证明：由平移的性质可得：，，
，，
．
【小题】
解：，
由平移的性质可得：，，，
，
．

24.【答案】【小题】
解：设品牌足球单价为元，品牌足球单价为元．
根据题意，得
解得．
答：品牌足球单价为元，品牌足球单价为元；
【小题】
解：促销后单价：品牌：元，
品牌：元，
设购买品牌足球个，则购买品牌足球个，
根据题意，得
解得，
为整数，
的值可以为，，．
根据题意得总费用为元，
当时，元；
当时，元；
当时，元；
，
当购买品牌足球个，品牌足球个时总费用最少，最少总费用为元．

25.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
证明：根据二项和展开式的系数规律，可得
，
为整数，
是整数，
是的倍数，即能被整除．

26.【答案】【小题】
【小题】
解：由折叠的性质得：，，
，，
当在的左侧时，
，
，
，
；
当在的右侧时，
，
，
，
．
综上，，满足当时；当时．
【小题】
解：当时，，
射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，到位置停止，
射线到的时间为秒，射线到的时间为秒，
由题意可知，，，
与相遇前，则，
，
解得；
与相遇后，则，
，
解得，不合题意舍去；
在与相遇后，当时，射线已停止旋转，
此时，
，
解得，
综上，当为或时，．

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