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2025-2026学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象可由函数的图象个单位得到．
A. 向右平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向左平移
4.已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的侧面积是( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
6.一艘船从处出发，以的速度向正北方向航行从处看灯塔位于船北偏东的方向上，后船航行至处，从处看灯塔位于船北偏东的方向上，则灯塔与之间的距离是( )
A. B. C. D.
7.已知点到平面的距离是，，，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.在中，已知，，为边上一点，平分，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，则( )
A. B. C. D.
10.在正方体中，下列说法正确的是( )
A. 与是异面直线 B.
C. 平面平面 D. 与平面所成角是
11.定义变换为：将向量绕点逆时针旋转得到向量，其中，已知点，，若对作变换，则下列
说法正确的是( )
A. 作变换，得到
B. 作变换，得到点
C. 作，变换，分别得到，，若，则的最小值为
D. 作变换得，若，则锐角的不同取值有种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.在矩形中，，，点为中点，点在边上，若，则 ．
14.将一个弧长为，圆心角为的扇形卷成一个圆锥，则该圆锥的高为 若将该圆锥放入一个球内，则球的最小体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求；
若，求．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，是二面角的平面角．
证明：；
已知，，，若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
证明：；
求图象的对称中心；
若为锐角，且，求．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，为的中点．
求证：平面平面；
已知，．
求点到平面的距离；
若点在上，且平面，求的值．
19.本小题分
若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的倍，则称其为倍角三角形在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求证：是倍角三角形；
已知为锐角三角形，．
若的面积为，求；
若点满足，求线段长度的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】因为是二面角的平面角，所以，，
，，平面，所以平面，
因为平面，所以
17.【答案】
，
可得，
因此，得证
18.【答案】证明：因为在直三棱柱中，底面，
所以，又，且，
所以平面，又平面，
所以平面平面 ；
19.【答案】证明：因为，由正弦定理，得，
又，所以，
所以，
即，
整理得，，因为，为三角形内角，
所以或，即或舍去，
所以存在一个内角是另一个内角的倍，所以是倍角三角形 ；
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