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2025-2026学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.若一组数据，，，，的平均数为，方差为，对于数据，，，，，下列说法正确的是( )
A. 平均数为，方差为 B. 平均数为，方差为
C. 平均数为，方差为 D. 平均数为，方差为
3.已知，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知是直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于( )
A. B. C. D.
8.已知正五边形内接于半径为的圆，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于统计量的说法正确的有( )
A. 一组数据的众数唯一 B. 一组数据的平均数唯一
C. 一组数据的第百分位数唯一 D. 一组数据的方差越大，数据波动越小
10.已知，，，则下列说法正确的有( )
A. 若，则 B.
C. ，，使得 D. 的最大值为
11.如图，正四棱台的上、下底面中心分别为、，且，，分别为，的中点，下列说法中正确的有( )
A.
B. 平面
C. 二面角的大小为
D. 若为线段上的一动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件，相互独立，且，，则 ．
13.在平行四边形中，已知点满足，若，则的值为 ．
14.在中，，，，，依次为边上的点，且，设，，，，，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，，且．
求的值；
若，求的值．
16.本小题分
如图，正方体中，．
若点为棱的中点，求证：平面平面；
若点为线段上的动点不包括端点，在下图中画出平面与上表面的交线，并说明作图的理由．
17.本小题分
某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图以下图表中，，，，：
使用次数 次 次 次 次 次及以上
频率
求条形图中的频数，；
从一周内使用自行车次数为次和次的居民中，按分层抽样的方法抽取人现从这人中任意抽取人，求这人使用自行车次数不同的概率；
若此样本中的名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为，方差为；名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为，方差为求这名居民一周内使用自行车次数的方差．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
求的值；
已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且．
若，求角的大小；
求面积的最大值．
19.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，为线段的中点，点为等边的中心将图形沿，折起，使得与重合，形成三棱锥．
求证：平面；
求三棱锥的体积；
已知为平面内过点的一条直线，交为，设是否存在直线，使得与所成角的正弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】如图，连接，，．
正方体，
四边形为正方形，平面，平面，
且，，平面，，
平面．
，平面，，
设正方体的棱长为，则，，，
由勾股定理得，，，
，
方法一，平面，，平面，
平面，平面平面．
方法二由得二面角的大小为，
平面平面 如图，连接，过点作交于，
则为平面与正方体上表面的交线．
正方体，
平面平面，且，
四边形为平行四边形，，
平面平面，平面平面，
，
．

17.【答案】，
18.【答案】 ；
19.【答案】延长交于，连接．
，，，
≌，，
点为等边的重心，，为的中点，
，，平面，，
平面，即平面
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