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第2章 特殊三角形测试2026-2027学年上学期浙教版八年级数学上册（解析版）
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．在年月执行的神舟二十一号任务中，精密机械臂与空间站的“对接环”设计至关重要，
为了保证受力均匀，这些组件常采用对称设计．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形是轴对称图形”进行排除选项即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意．
2．如图，已知，点，，分别在直线，上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，可以求出，根据两直线平行，内错角相等，可知．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
3．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边
C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形
【答案】C
【分析】先将各选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可得到答案.
【详解】A、原命题：全等三角形的对应角相等，
逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形．
∵对应角相等的三角形不一定全等（可能只是相似），∴逆命题是假命题，不符合题意．
B、原命题：三角形的中位线平行于第三条边，
逆命题是平行于三角形第三条边的线段是三角形的中位线．
∵该线段需要同时满足端点平分三角形另两条边才是中位线，∴逆命题是假命题，不符合题意．
C、原命题：直角三角形的两锐角互余，
逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形．
∵三角形内角和为，两锐角互余即两锐角和为，则第三个角为，
∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合题意．
D、原命题：等边三角形是等腰三角形，
逆命题是等腰三角形是等边三角形．
∵等腰三角形只有两条边相等，不一定是等边三角形，∴逆命题是假命题，不符合题意．
选C．
在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，
能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据三角形内角和为180°，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案.
【详解】①∵∠A+∠B=∠C，
∴∠A+∠B+∠C=2∠C =180°
∴∠C=90°
∴△ABC是直角三角形，故小题正确；
②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴最大角∠C=180°×=90°
故小题正确
③∵∠A=90°-∠B
∴∠A+∠B=90°
∴∠C=180°-90°=90°
故正确
④∵∠A＝∠B＝∠C
∴∠A+∠B+∠C=∠C+∠C+∠C=2∠C=180°
∴∠C=90°
故正确
综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个.
故选D.
如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，
则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可．
【详解】解：A、由勾股定理得：，A选项正确，不符合题意；
B、，
，
，B选项正确，不符合题意；
C、，C选项错误，符合题意；
D、设点A到直线的距离为h，
则，即，
，D选项正确，不符合题意，
故选：C．
6．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．
若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键．
分两种情况讨论：为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角形三边关系．
【详解】解：当为底边时：
周长为，两腰之和为，则腰长为．
验证：，满足三角形三边关系．
∴．
2． 当为腰长时，周长为，
底边长为，
验证：，满足三角形三边关系．
∴．
综上，优美比k为或．
故选：C．
7．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再设点C到的距离是h，根据可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，且．
设点C到的距离是h，
根据题意，得，
即，
解得，
所以点C到的距离是．
8．如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键．
由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
∴
同理可得：，，
∴．
故选B．
如图， ， 点 A 是 延长线上的一点， ，
动点P 从点 A 出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿 以的速度移动，
如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间， 当t等于多少时，是等腰三角形（ ）
A．10 B．2.5 C．5 D．2.5 或5
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
根据 是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点 P 在上，或点 P 在上；然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】 解：如图，当点 P 在上，时，是等腰三角形，
∵，，
∴当时，，解得；
如图，当P在上，时，是等腰三角形，
∵，，
∴当时，，解得；
综上可得：当或5秒时，是等腰三角形，
故选：D．
勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、
如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、
正方形．连接、、，若，，
则这个六边形的面积为（ ）

A．28 B．26 C．32 D．30
【答案】A
【分析】设，，，则，连接、交于点M，连接、，证明，得出，证明，得出，连接，交于点N，同理可得：，得出，求出，，从而得出，，延长作于点P，作于点Q，证明，得出，证明，，，求出，最后求出即可．
【详解】解：设，，，则，
连接、交于点M，连接、，如图所示：

∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，，，，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
连接，交于点N，
同理可得：，
∴，
∴，，
，，
∴，
即，
∴，
即，
得：，
解得：，
得：，
即，
解方程组：，
解得：，
∴，
∵a、b、c为正数，
∴，，
延长作于点P，作于点Q，如图所示：

则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，
同理：，，
，
∴，故A正确．
故选：A．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11. 如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，
大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为______
【答案】米
【分析】根据勾股定理求出长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度即可求出答案．
【详解】解：由图可知，，，
在中，，
这棵树折断前的高度为．
12．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为_______
【答案】55°
【分析】由已知顶角为70°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．
【详解】∵等腰三角形的顶角是70°，
∴两底角的和为180°-70°=110°，
由等腰三角形的两底角相等可得底角为×110°=55°.
在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC ，交AB于点D，交AC于点E，
若BD＋CE＝9，则线段DE的长为 .
【答案】9
【详解】∵∠B和∠C的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠BCF=∠ECF；
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC=∠FBD，∠EFC=∠FCB=∠ECF，
∴DF=DB，EF=EC，
即DE=DF+FE=DB+EC=9.
故答案为9.
如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，
若，，则的长为______．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵在中，点D是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角 边，
画第二个等腰直角三角形 ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，
画第三个等腰直角三角形 ADE……依此类推，直到第五个等腰直角三角形 AFG，
则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__________．
【答案】15.5
【详解】∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，∴S△ABC=×1×1==21-2；
AC==，AD==2，∴S△ACD==1=22-2
∴第n个等腰直角三角形的面积是2n-2．∴S△AEF=24-2=4，S△AFG=25-2=8，
由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为+1+2+4+8=15.5．故答案为15.5．
16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，
则下列说法中正确的个数是_______-（填序号）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
【答案】①②③④
【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确．
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确．
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD．
∴点D在AB的中垂线上．故③正确．
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD．
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC CD=AC AD．
∴S△ABC=AC BC=AC AD=AC AD．
∴S△DAC：S△ABC．故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故答案为：①②③④
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，已知，，求证：平分．
【分析】根据平行线的性质推导角度的关系证明即可．
【详解】证明：，
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
又，
，
平分．
18．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，．
(1)请在图中作，使和关于轴对称，点、、的对应点分别为；并请写出的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)作图见解析，、、
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形，求三角形面积．
（1）先找出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可得到答案，根据的位置，写出的坐标即可；
（2）用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
；
∴、、；
（2）
19.如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质得，，证明得，然后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的度数是．
如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，
过点E作，交的延长线于点F．
求的度数；
若C是的中点，，求的长．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
（1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）先根据直角三角形的性质求出，根据C为的中点，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵C为的中点，
∴．
21.如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，
将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
求秋千的长度；
当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），
如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设秋千的长度为，在中，由勾股定理建立方程进行求解即可；
（2）在中，由勾股定理得到的长，进而求出的长，即可.
【详解】（1）解：由题意知，，，
，，，
，
，
，
，
，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
即秋千的长度是；
（2）解：在中，，，
由勾股定理得，
，
，
，
，
即此时踏板离地的垂直高度为．
22．在中，，，直线过点，于，于．

当直线绕点旋转到图1位置时，求证：；
当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明；
当直线绕点旋转到图3位置时，
、、之间的等量关系是__________________（直接写出答案）．
（1）证明：由题意知，，，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：．
证明：∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴，
∴，，
又∵,
∴．
（3）解：．
证明：∵于，于，
∴，
∴，，
∴∠ACD＝∠EBC，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
如图，已知在中，，的面积是12，于点，
点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；
以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题．
直接写出线段__________；
用含的代数式表示线段的长；
在上取点，使，连接，当与全等时，求的值；
在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)3
(2)当时，；当时，
(3)或2
(4)或4或14
【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可；
（2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可；
（3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可；
（4）分两种情况讨论：，分别求得的长，即可得出结果即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴；
∵，
∴；
故答案为：．
（2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒，
∴当时，；
当时，；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
当点P在点D左侧时，时，，
∴，
解得：；
当点P在点D右侧时，时，，
∴，
解得：；
综上分析可知：或时，与全等；
（4）解：当时，点与点重合，
∴
当时，
①当在点的左侧时，
∴
②当在点的右侧时，
∴
综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，或4或14
定义：
若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”．
如图1在中，，则是“类勾股三角形”．
等边三角形一定是“类勾股三角形”，是___________________命题（填真或假）．
若中，，且，
若是“类勾股三角形”，求的度数．
如图2，在等边三角形的边上各取一点，，
且相交于点，是的高，若是“类勾股三角形”，且．
① 求证：．
② 连结，若，那么线段能否构成一个“类勾股三角形”？
若能，请证明；若不能，请说明理由．
【答案】(1)真
(2)是“类勾股三角形”时，
(3)①见解析；②线段能构成一个“类勾股三角形”，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，“类勾股三角形”的定义判断；
（2）根据勾股定理得到，分三种情况，根据“类勾股三角形”的定义解答；
（3）①根据“类勾股三角形”的定义得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
②证明，得到，设，，分别用、表示出 、、，根据“类勾股三角形”的定义判断即可．
【详解】（1）当为等边三角形时，
，
∴，
∴等边三角形一定是“类勾股三角形”
故答案为：真
（2）∵，
∴，
当时，则（舍去），
当时，则，
，
∴，
∴，
∴，
∴
当时，则，
，
∴，
∴，
∴（舍去），
综上所述：是“类勾股三角形”时，
（3）①∵是等边三角形，
∴，，
∵是的高，是“类勾股三角形”，
∴由（2）可得，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
②∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴线段能构成一个“类勾股三角形”．
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第2章 特殊三角形测试2026-2027学年上学期浙教版八年级数学上册
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．在年月执行的神舟二十一号任务中，精密机械臂与空间站的“对接环”设计至关重要，
为了保证受力均匀，这些组件常采用对称设计．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，点，，分别在直线，上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边
C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形
在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，
能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，
则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2
6．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．
若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
如图， ， 点 A 是 延长线上的一点， ，
动点P 从点 A 出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿 以的速度移动，
如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间， 当t等于多少时，是等腰三角形（ ）
A．10 B．2.5 C．5 D．2.5 或5
勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、
如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、
正方形．连接、、，若，，
则这个六边形的面积为（ ）

A．28 B．26 C．32 D．30
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11. 如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，
大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为______
12．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为_______
在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC ，交AB于点D，交AC于点E，
若BD＋CE＝9，则线段DE的长为 .
如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，
若，，则的长为______．
如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角 边，
画第二个等腰直角三角形 ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，
画第三个等腰直角三角形 ADE……依此类推，直到第五个等腰直角三角形 AFG，
则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__________．
16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，
则下列说法中正确的个数是_______-（填序号）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，已知，，求证：平分．
18．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，．
请在图中作，使和关于轴对称，点、、的对应点分别为；
并请写出的坐标；
求的面积．
19.如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，求的度数．
20. 如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，
过点E作，交的延长线于点F．
求的度数；
若C是的中点，，求的长．
21.如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，
将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
求秋千的长度；
当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），
如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？
22．在中，，，直线过点，于，于．

当直线绕点旋转到图1位置时，求证：；
当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明；
当直线绕点旋转到图3位置时，
、、之间的等量关系是__________________（直接写出答案）．
如图，已知在中，，的面积是12，于点，
点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；
以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题．
直接写出线段__________；
用含的代数式表示线段的长；
在上取点，使，连接，当与全等时，求的值；
在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
定义：
若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”．
如图1在中，，则是“类勾股三角形”．
等边三角形一定是“类勾股三角形”，是___________________命题（填真或假）．
若中，，且，
若是“类勾股三角形”，求的度数．
如图2，在等边三角形的边上各取一点，，
且相交于点，是的高，若是“类勾股三角形”，且．
① 求证：．
② 连结，若，那么线段能否构成一个“类勾股三角形”？
若能，请证明；若不能，请说明理由．
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