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2025-2026学年河南省许昌市长葛市第三实验高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某班名学生一次物理测试的成绩如下：，，，，，，，，则这组数据的中位数为( )
A. B. C. D.
2.近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲、乙两地各名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到．
车型与地区
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
下列说法正确的是( )
A. 在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取人，则新能源车主有人
B. 在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多人
C. 依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于
D. 依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于
3.已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则( )
A. 经验回归直线必过点 B.
C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为
4.已知甲、乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有( )
A. 且 B. 且
C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，名青年志愿者到个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.当前，已从一个研究领域变成一类赋能技术在医药健康领域，已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率假设某实验室辅助新药分子筛选，事件是“模型筛选出候选分子”，事件是“模型筛选出候选分子”已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.现有个白球、个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧设白球所在抽屉的编号为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量，下列说法中正确的是( )
A. B. 期望
C. 期望 D. 方差
10.一个袋子中有个红球和个白球，采用不放回方式依次摸取个球设事件为“第一次摸到红球”，事件为“第二次摸到红球”，则( )
A. B. C. D. 与相互独立
11.一个不透明的口袋中装有个完全相同的乒乓球，其中个标有数字，个标有数字，记事件表示“第一次取到标有的球”，事件表示“第二次取到标有的球”，则下列说法正确的是( )
A. 若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这个球上的数字相同的概率为
B. 若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为的概率为
C. 若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，互斥
D. 若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，相互独立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中的系数为 ．
13.某校需要从含甲的位优秀老师中选位去，，三个乡村支教，每个乡村人，每人至多去个乡村，其中甲不能安排在乡村，则不同的安排方法种数为 ．
14.在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为若下达的动作指令表述模糊的概率为，则该机器人成功完成指令的概率为 ；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了个动作指令，机器人成功完成了其中个现从这个指令中随机抽取个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，，，，，绘制了如下的频率分布直方图．
求的值；
根据频率分布表，估计该小组第百分位数以及平均成绩．
16.本小题分
某学校组织了种类丰富的社团活动某寝室名同学中，有人选择了其中的类，有人选择了其中的类，有人选择了其中的类，现从这人中随机选出人进行满意度测评．
求选出的人选择社团种类的个数相同的概率；
记选出的人选择社团种类的个数之和为，求的分布列和期望．
17.本小题分
某人统计了年某网站“双”当天的交易额，统计结果如表：
年份
年份代码
交易额百亿元
请根据表中提供的数据，用样本相关系数说明与的线性相关程度；
求出关于的经验回归方程，并预测年该网站“双”当天的交易额．
附：在经验回归方程中，，，，．
18.本小题分
为落实全民健身条例，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研数据显示，居民主要选择商业健身场馆如健身房、体育中心和社区公共运动场如小区健身点、街心公园两类场所为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组岁且岁和中老年组岁，从该区随机抽取名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表：
青壮年 中老年 合计
商业健身场馆
社区公共运动场
合计
请补充列联表，并根据表中数据判断能否有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关；
用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取个人，再从个人中随机抽取个人，用随机变量表示这个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望．
参考公式及数据：，其中．
19.本小题分
雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，现从我校所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的数学期望．
现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为已知甲同学第一关通过的概率为．
求该同学第二关通过的概率；
记甲同学通过第关的概率为，当时，恒成立，求的最小值．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】 第百分位数为，平均成绩
16.【答案】 的分布列为：

17.【答案】非常接近，说明变量与的线性相关程度很强 ，百亿元
18.【答案】补充列联表：
青壮年 中老年 合计
自由行
跟团游
合计
有的把握认为年龄与出游方式的选择有关
19.【答案】解：因为，
则，所以，
由题知，所以．
由题知，甲同学第一关通过的概率为，即，
所以第二关通过的概率为．
记甲同学第关通过为事件，依题意有，
当时，，
所以，
所以，
所以，又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
当为奇数时，，
则随着的增大而减小，所以，
当为偶数时，，
又，所以的最小值为．
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