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山东省济南市历下区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的平方根为( )
A. B. C. D.
2.下列中国传统玉器的示意图中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.在一项抽卡片活动中，有四张卡片背面分别印有：“芒种”、“夏至”、“小暑”、“大暑”，除卡片背面的字不同外，其它完全相同．将卡片正面朝上随机打乱，从中任意抽取一张，抽到卡片背面含有“暑”字的概率是( )
A. B. C. D.
4.如图是水杯的截面示意图，已知，吸管与水平面形成的夹角，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，点，，在同一直线上，，要使，添加的条件可以是( )
A. B.
C. D.
6.下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，某长方体的长为，宽为，高为，点是长方体的一个顶点，点是一条棱的中点．一只蚂蚁沿长方体外表面从点处爬到点处，它爬行的最短路程为( )
A. B. C. D.
9.如图，学校开展“数学测量日”活动，数学兴趣小组决定测量四楼教室到地面的距离的长度，在无法跨越花坛直接测量的情况下，他们采用以下方法：
甲同学在四楼教室窗户处拉住绳子一端，乙同学在楼下平坦地面上拉直绳子退至离教学楼米的点处，此时手上的绳子还剩米；
乙同学继续往后退米到达点处，此时手上的绳子刚好用完；
乙同学拉绳子的手到地面的距离和的长都是米．
则四楼教室到地面的距离的长度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.在等边三角形中，平分，，分别为边，上的点，且若的最小值为，则等边三角形的边长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.比较大小： 填“”，“”或“”．
12.若，，是勾股数，则的值是 ．
13.如图，平分，，若比的倍大度，则 度．
14.如图，在长方形中，，，点沿直线以每秒个单位长度的速度向右运动，点沿直线以每秒个单位长度的速度向右运动，点，同时运动秒后，梯形的面积和时间的关系式可表示为 ．
15.如图，在中，，点为的中点，点，分别在边，上，若，，，则的长度为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.计算：
；
．
四、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知，，试说明：．
18.本小题分
已知的平方根是，的立方根是．
求，的值；
求的算术平方根．
19.本小题分
如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，的顶点在网格的格点上．
作关于直线轴对称的；
的面积为 ；
点到的距离为 ．
20.本小题分
某商家“幸运刮奖”设置“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”，“谢谢参与”四种结果．如图，在至的数字中任意选中一个数字并刮开，会显示获奖情况，其中刮奖得“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”的概率分别为，，．
刮奖结果是“谢谢参与”的概率是 ；
如图，若刮开数字“”，显示的是“二等奖”，再任意刮开一个数字，结果是“二等奖”的概率是多少？
21.本小题分
某快递公司同省快递的收费标准见下表包裹质量不足按计，超出部分不足按计：
包裹质量
运费元
在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
设运费为元，包裹质量为，写出与的关系式： ；
若包裹质量为，快递公司收取运费元，是否符合收费标准，请说明理由．
22.本小题分
如图，在正方形中，，点为的中点，点在上，，连接，，．
求三条边的长；
请判断的形状，并说明理由．
23.本小题分
某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能．
定义：对于输入的数对，其中计算器会先将进行开立方运算得到，即，再将的算术平方根取相反数得到，即，最后输出两个结果和，将这两个输出结果称为数对的“变换数对”．
例如：数对的“变换数对”为和．
下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________；
A. B. C. D.
若输入数对，则输出的“变换数对”结果为 ；
社团成员小明输入某个数对后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是，求和的值．
24.本小题分
如图是长方体水池的示意图，该水池的底部被分隔为甲、乙两个独立区域．甲区域以立方米每小时的速度进行注水，乙区域底部的排水孔以一定的速度往下排水．图为注水过程中甲区域水面的高度米随时间小时变化的图象．
表示的数值是 ；
求乙区域排水孔的排水速度；
求图中表示的数值．
25.本小题分
某数学兴趣小组以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，请回答下列问题：
如图，当点，重合时， ， ；
如图，，交于点，若，求的度数；
如图，，交于点，若，，请直接写出的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题】
解：．
【小题】
解：．

17.【答案】证明：，
即，
，
，
，
．

18.【答案】【小题】
解：的平方根是，
，
解得，
的立方根是，
，
把代入得，
解得；
【小题】
解：把，代入得：，
的算术平方根是，
的算术平方根为．

19.【答案】【小题】
【小题】
【小题】

20.【答案】【小题】
【小题】
解：“二等奖”的概率为，
故刮开数字是“二等奖”的有种等可能性，又刮开数字“”，显示的是“二等奖”，
故还有个数字，且这个数字中刮开数字是“二等奖”的有种等可能性，
故再任意刮开一个数字，结果是“二等奖”的概率是；

21.【答案】【小题】
包裹质量
运费
【小题】
为不小于实际包裹质量的最小正整数
【小题】
符合收费标准
理由：包裹质量为，根据收费规则，按计算，
把代入，得，
计算所得运费与快递公司收取的运费一致，因此符合收费标准．

22.【答案】【小题】
解：在正方形中，，
故，
点为的中点，
，
点在上，，
，
正方形，
，
，，
．
【小题】
解：是直角三角形，理由如下：
，，，
，，
，
是直角三角形；

23.【答案】【小题】
【小题】
和
【小题】
解：已知其中一个输出结果是，
分两种情况讨论：
若，则与矛盾，此情况舍去；
若，
由，得，
由，得，两边平方得，满足，
因此．

24.【答案】【小题】
米
【小题】
解：设乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时，根据题意，得，
解得，
故乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时
【小题】
解：设小时后再经过小时，水位上升了米，根据题意，得，
解得，
故小时．

25.【答案】【小题】
【小题】
解：根据轴对称的性质，得，
，
，，
；
，
；
【小题】
解：根据轴对称的性质，得，
，
，，
；
，
；
，
，
，
，
如图，连接，
，
，
是等边三角形，
，
根据轴对称的性质，得，，
，，
，
，
，
，
过点作于点，设，则，，
，
根据勾股定理，得，
，
，
，
解得，
，，
当时，，不符合要求，舍去；
故，
，
；

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