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2025-2026学年安徽省合肥市庐阳中学等校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次根式有意义，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.若将一元二次方程转化为的形式，则的值为( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
5.满足下列条件时，不是直角三角形的为( )
A. ，， B. ：：：：
C. ：：：： D.
6.若一个多边形的内角和为，则从这个多边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数为( )
A. B. C. D.
7.如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是( )
A. 地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值
B. 地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数
C. 地平均气温的方差小于地平均气温的方差
D. 地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值
8.如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度单位：分别为和，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.已知四边形的对角线与交于点，添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形是菱形的是( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
10.在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况对于这个方程，有下列说法：
若，则；
若方程的两根之积为，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立．
这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.计算： ．
12.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点坐标为，则线段 ．
13.八年级男生进行立定跳远训练，李明在连续次模拟测试中的成绩单位：米分别为，，，，这次成绩的平均数为米，方差为若李明再跳一次，成绩恰好为米，则这次成绩的方差 填“变大”“不变”或“变小”．
14.如图，正方形的边长为，点，分别在，上将该正方形沿折叠，使点落在边上的点处，连接，与折痕交于点．
若是的中点，则的长为 ；
若为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.计算：
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解方程：．
17.本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．
在图中，画一个格点三角形，使得．
在图中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数．
18.本小题分
已知关于的一元二次方程．
若，是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值．
若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
19.本小题分
为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽取了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出统计图如图所示，请根据相关信息，解答下列问题：
本次接受随机抽样调查的男生人数为______，图中的值为______；
求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
若规定引体向上次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校名八年级男生中该项目良好的人数．
20.本小题分
如图，在平行四边形中，，点是的中点，过点的直线分别交，的延长线于点，．
求证：；
若，，求的长．
21.本小题分
综合与实践
【问题情境】：在学习了二次根式和勾股定理后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点在图中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点、，他们借助此图求出了的面积．
【实践探究】
在图中，所画的的三边长分别是，，，的面积为．
【继续探究】
“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为，，，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究古希腊的几何学家海伦，约公元年，在他的著作度量一书中，给出了求其面积的海伦公式，其中，，我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式．
一个三角形边长依次为、、，利用海伦公式，求得这个三角形的面积是．
另一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，求得这个三角形的面积是．
“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积如图，在中，，，，求的面积给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
首先，作于，设，用含的代数式表示．
其次，根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出；
最后，利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
______；______；______；______；______；______．
22.本小题分
如图，正方形与矩形的顶点重合于点，且为边上的一点，，，三点共线．
求证：矩形为正方形；
如图，连接，，若，，分别是，，的中点，连接，，求证：；
在的条件下，已知，，求的长度．
23.本小题分
对关于的一元二次方程开展深入探究．
学校计划用围栏围成一个长方形劳动实践基地，经过测量，基地的长比宽多米，设基地的宽为米，围成基地的面积为平方米，当时，求此时的值；
若实数，满足，，且，求的值；
若两个不相等的实数，满足，，求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】变小
14.【答案】
．

15.【答案】解：原式
．
16.【答案】．
17.【答案】如图中，即为所求； 如图中，即为所求答案不唯一
18.【答案】
19.【答案】 平均数为，众数为，中位数为 人
20.【答案】四边形为平行四边形，
，，
，
为中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即
21.【答案】；；；；．
22.【答案】证明：四边形为正方形，
，，
四边形为正方形，
，
，

在和中，
，
≌，
，
矩形为正方形；
证明：连接，，如图，

四边形为正方形，
，互相平分，
经过的中点，
，，
四边形为正方形，
，
为的中点，
，
，
，分别是，的中点，
平分，平分，
即，，
，
，
；
解：延长，交于点，如图，

由知：，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，

四边形为正方形，，
，
，
，
，
，
，
．
23.【答案】 ，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，

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