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第1章 四边形
1.3 中心对称和中心对称图形
（湘教版）八年级
下
学习目标
1.在丰富的现实生活中，观察生活中的中心对称现象和图形，建立中心对称的概念；
2.了解中心对称和中心对称图形的概念，知道它们之间的区别和联系；
3.了解成中心对称的两个图形的性质，能画出与已知图形成中心对称的图形；
4.能找出线段、平行四边形的对称中心，能判断某一个图形是否是中心对称图形.
5.让学生初步了解旋转变换的数学思想方法，培养学生的想象能力和探索精神。能设计简单的对称图形，培养学生的创新能力，体验中心对称图形的美感。
温故知新
把一个图形沿一条直线翻折，“复印”出一个新图形，这种图形变换作轴对称。这条直线叫做对称轴.
1. 什么叫轴对称？什么叫对称轴？
轴对称图形不改变图形的形状和大小。成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分.
2.轴对称有什么性质？
温故知新
将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内的一定点O旋转同一个角α，得到图形F'，图形的这种变换叫做旋转。这个定点O叫做旋转中心。角α叫做旋转角.
3.什么叫作旋转？什么是旋转中心和旋转角？
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等。旋转不改变图形的形状和大小.
4.旋转有什么性质？
新知探究
探究一
中心对称的概念
如图,在平面内,将绕点旋转,得到的像是.
新知探究
探究一
中心对称的概念
从这个例子引出下述定义：
在平面内，把一个图形(Ⅰ)绕一个点旋转，得到另一个图形(Ⅱ)，我们把图形的这种变换称为关于这个点中心对称，这个点称为对称中心.
在平面内，如果图形(Ⅰ)绕点旋转，得到的像与另一个图形(Ⅱ)重合，那么称图形(Ⅰ)与(Ⅱ)关于点成中心对称.
例如，图 中的与关于点成中心对称.
新知探究
探究一
中心对称的概念
思考:吗
全等,因为两个图形成够完全重合.
新知探究
探究二
中心对称的性质
成中心对称的两个图形的对应点连线的中点是对称中心吗？
在平面内,设点 与点 关于点 成中心对称,则把点绕点逆时针(或顺时针)旋转得到点,如图所示.根据旋转的基本性质和概念可得,,.于是点在一条直线上,且点是线段的中点.
新知探究
探究二
中心对称的性质
一般地，在平面内，设图形(Ⅰ)与图形(Ⅱ)关于点成中心对称，则图形(Ⅰ)绕点旋转的像是图形(Ⅱ)，且图形(Ⅰ)上任一点在该旋转下的对应点P'都在图形(Ⅱ)上. 同时，点在一条直线上，且点是线段的中点. 于是得到了中心对称的基本性质：
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
新知探究
探究二
中心对称的性质
中心对称与轴对称的区别：
1.定义不同:中心对称是将图形绕某点旋转后能与自身重合;轴对称的区别是将图形绕某直线折叠后能与自身重合。
2.性质不同:中心对称是点对称，轴对称是线对称;中心对称对应点连线相交于一点，轴对称对应点连线互相平行。
思考：如何找成中心对称的两个图形的对称中心？
连接对称点，两组对称点连线的交点即是对称中心.
例题精讲
如图，已知，边 的中点为 . 作出与关于点成中心对称的图形.
例
作法 :(1)如图,连接并将其延长到，使得, 于是点在关于点中心对称下的对应点是点；
(2) 由于是线段的中点，因此在关于点中心对称下,点 的对应点分别是点；
(3) 连接,则是所求作的与关于点成中心对称的图形.
例题精讲
思考：若点 在外，如何作出与关于点成中心对称的图形？
1.如图，连接并将其延长到,使得 于是点在关于点中心对称下的对应点是点；
2.同理连接并将其延长到点,使得,于是点关于点中心对称下的对应点是点；
3.同理可作出点关于点中心对称下的对应点是点.
4.连接,则是所求作的与关于点成中心对称的图形.
新知探究
探究三
中心对称图形的概念
画一条线段，将这条线段绕它的中点旋转180°，你会发现什么？
可以发现:将线段AB绕它的中点旋转 ,得到的像与它自身重合 .
从这个例子引出下述定义：
如果一个图形绕一个点旋转,所得到的像与原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作图形的对称中心.
由上可得,线段是中心对称图形,线段的中点是它的对称中心.
新知探究
探究四
中心对称图形的性质
平行四边形是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？
如图,已知连接AC，BD，AC与BD相交于点O.
由平行四边形的性质可知 .
于是,点在关于点中心对称下的像分别是点 ,从而边的像分别是边 .
又AB//=CD，DA//=BC，
因此,绕点旋转,它的像与自身重合.
由此得出：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
新知探究
探究四
中心对称图形的性质
思考：如何利用平行四边形是中心对称图形来理解平行四边形的性质？
平行四边形的中心对称性可以用来理解其性质， 如对边相等、 对角相等，对角线互相平分。
新知探究
探究四
中心对称图形的性质
思考:中心对称与中心对称图形有什么区别与联系？
中心对称与中心对称图形的区别在于它们描述的对象不同——一个是两个图形之间的关系， 另一个是单个图形本身的性质；
而它们的联系在于， 在一定条件下， 这两种概念可以相互转化
课堂练习
如图，四边形与四边形关于某点成中心对称，找出它们的对称中心.
练习1
解：如图，连接和交于点，点即为它们的对称中心.
课堂练习
如图，分别画出关于点和点成中心对称的图形.
练习2
解:如图1为关于点成中心对称的图形；
如图2为关于点成中心对称的图形；
课堂练习
下图是一行英文字母，其中哪些字母可看作是中心对称图形？
练习3
解:可以看作是中心对称图形的字母有:
课堂总结
知识点：
1.在平面内，把一个图形(Ⅰ)绕一个点旋转，得到另一个图形(Ⅱ)，我们把图形的这种变换称为关于这个点中心对称.
2.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；
3.如果一个图形绕一个点旋转，所得到的像与原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形.
4.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
数学思想：1.数形结合思想；2.数学建模思想
课后练习
1.必做题：教科书 习题--学而时习之
2.选做题：教科书 习题--温故而知新
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