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河南省南阳市唐河县2025-2026学年八年级下学期6月期末
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，其与的误差小于其中用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 分式值为，则的值为 B. 分式是最简分式
C. 无论为何值总有意义 D. 代数式是分式
3.体育老师统计了八班和八班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是( )
A. 八班跳绳次数更集中
B. 跳绳次数最小值出现在八班
C. 两个班级跳绳次数的中位数相等
D. 八班跳绳次数整体比八班好
4.如图，在中，用尺规作的平分线，交于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，分别是，的中点，连接，是的中点，连接并延长，交的延长线于点若，则的长为( )
A. B. C. D.
6.已知点，在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是( )
A. 当，是矩形 B. 当，是矩形
C. 当，是菱形 D. 当，是正方形
8.一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为( )
A. B. C. D.
9.如图是函数与在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点，轴于点，分别交的图象于，两点，连接，则( )
A. B. C. D.
10.一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为单位：，两车之间的距离为单位：图中的折线表示与之间的函数关系：下列结论：
；
当动车到达终点时，普通列车距离甲地；
普通列车行驶时，到达终点甲地．
其中正确的是．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.如图，一次函数与的图象相交于点，若点的纵坐标为，则关于的二元一次方程组的解为 ．
12.曲老师参加区青年教师教学大比武比赛，笔试得分，微型课得分，教学反思得分．按如图所示的笔试、微型课、教学反思的权重，曲老师的综合成绩是 分．
13.如图，矩形中，于点，若，则 度．
14.如果关于的分式方程无解，那么实数的值为 ．
15.如图，为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，过点作交于点，连接，则的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解决下列问题：
计算：；
解方程：．
四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简求值：先化简：，再请从，，，中选择一个你喜欢的数代入求值．
18.本小题分
年月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩满分为分进行收集、整理和分析测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解．
【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，；
抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【整理数据】，两班的数据整理如下：
【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示；
平均数 中位数 众数 方差
班
班
根据以上信息，解答下列问题：
填空：____，_____，请补全条形统计图；
假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数；
从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价．
19.本小题分
某饮水机的工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降，且在整个工作过程中水温与通电时间满足初中阶段所学函数模型，具体关系如下表：
流程变量 加热过程 水温下降过程
饮水机在加热过程中，水温为与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式；
饮水机停止加热，水温下降过程中，水温与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式；
已知某种茶冲泡的最佳温度在左右．现用该款饮水机把初始温度为的水加热到，再降温到使用，求饮水机从开始加热到可以使用需要的时间．
20.本小题分
如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点．
求证：四边形是矩形；
若，求菱形的面积．
21.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．
求反比例函数和一次函数的表达式；根据图像直接写出的的取值范围
求的面积
点为轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标．
22.本小题分
某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等，篮球售价为每个元，足球售价为每个元．
篮球和足球的单价各是多少元？
商场售出足球的数量比篮球数量的还多个，且获利超过元，问：篮球最少售出多少个？
商场计划用不超过元购进两种球共个，问：分别购进篮球和足球多少个，能使商场获利最大？最大利润是多少？
23.本小题分
如图，在中，为边上一点，过点作于点，过点作，交延长线于点．
求证：；
如图，当为边中点时，连接，．
求证：四边形是菱形；
当为多少度时，四边形是正方形？并请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】或
15.【答案】
16.【答案】【小题】
解：原式．
【小题】
解：方程两边同乘，消去分母：
，
，
，
消去，移项合并同类项：
，
，
检验：把代入公分母，
，
分母不为，是原方程的解．

17.【答案】解：
，
原式分母不能为，
，，
，；
当时，原式．

18.【答案】【小题】
，，补全条形图如下：
【小题】
解：人，
故成绩为“了解”的学生人数约为人；
【小题】
从平均数看，，两班学生测试成绩的平均水平一样；
从中位数看，班学生测试成绩的中位数低于班学生测试成绩的中位数，说明班的整体水平好一些；
从众数看，班学生测试成绩的众数低于班学生测试成绩的众数，说明班学生测试成绩的高分集中趋势高一些；
从方差看，班学生测试成绩的方差低于班学生测试成绩的方差，说明班学生测试成绩的波动小一些．

19.【答案】【小题】
解：每过分钟，水温上升，所以加热过程中的水温与通电时间满足一次函数模型．
设一次函数表达式为，
过点，
，解得
，；
【小题】
解：
停止加热水温下降时，水温与通电时间满足反比例函数模型，
设反比例函数表达式为，
则，
；
【小题】
解：在中，当时，由得，
在中，当时，，
，
从饮水机加热开始到可以饮用需要．

20.【答案】【小题】
证明：四边形是菱形，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
【小题】
解：四边形是矩形，
，
又，
，
，
．

21.【答案】【小题】
解：反比例函数过点，
，
，
，
点在反比例函数上，
，
，
，在一次函数上，
解得
一次函数；
即
由图象可知，当一次函数值小于反比例函数值时，或；
【小题】
解：当时，，
，
．
【小题】
解：取点关于轴的对称点，连接，交于点，连接，则，
的周长，即此时的周长取得最小值．
设直线的解析式为，把，代入，得
，
当时，，
解得，
．

22.【答案】【小题】
解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元．
根据题意，得
解得．
经检验，是原方程的解．
．
答：足球的单价为元，篮球的单价为元；
【小题】
解：设篮球售出个，则足球售出个，
根据题意，得，
解得，
因为，为正整数，所以的最小值为，
答：篮球最少售出个；
【小题】
解：设购进篮球个，则购进足球个，
根据题意，得，
解得，
设商场获利元，
根据题意，得，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为元，
此时购进足球个．
答：购进篮球个，购进足球个时，商场获利最大，最大利润为元．

23.【答案】【小题】
证明：，
，
，
，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
．
【小题】
证明：为边中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为边中点，
，
四边形是菱形．
当时，四边形是正方形，理由如下：
，，
，
，
为边中点，
，
，
又四边形是菱形，
四边形是正方形．

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