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(共24张PPT)
第2课时 基本不等式的应用
张先生打算建造一个面积为6 000平方米的矩形饲养场，进行猪养殖，现在需要进行周边院墙的建设，经过计算，他的儿子说建成正方形的
院墙最省，而他认为建成长300米、宽200米
的矩形的院墙最省，你认为谁说的对？要解
决这个问题，可用基本不等式来解决，这一
节我们就学习基本不等式的有关应用.
1.进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值；(重点)
2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式.(重点)
3.能够解决一些简单的实际问题；
逻辑推理：通过不等式的证明，培养逻辑推理的核心素养
数学建模：通过基本不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
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例1 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
微课1 基本不等式在求最值中的应用
【解析】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为m.因为，所以，则，当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m.
【解题关键】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，面积确定，则xy=100，篱笆的长为m.即求的最小值.
结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.
当的值是常数时，当且仅当时，有最小值
【规律总结】
例 1 (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
微课1 基本不等式在求最值中的应用
【解析】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则，所以，矩形菜园的面积为 m2 .因为，得，当且仅当时等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，矩形菜园的面积最大，最大面积为81 m2.
结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.
当的值是常数时，当且仅当时，有最大值
【提升总结】
注意：①各项皆为正数；
②和为定值或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”，
二“定”，
三“等”.
最值定理
结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.
结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.
【变式练习】
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4 800 m3,深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少
【解题关键】水池呈长方体形，高为3 m,底面的长与宽没有确定. 如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.
【解析】设底面的长为x m，宽为y m,水池总造价为z元，根据题意，有.由容积为4 800 m3 ，可得,因此.由基本不等式与不等式的性质，
可得2，
即，解得.
当且仅当时，等号成立.
所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价
最低，最低总造价是297 600元.
【变式练习】
1.化正型
微课2 基本不等式在求最大、最小值中的应用
例3 求的最大值.
【解题关键】因为，所以，，不符合基本不等式的条件，故应把负数转为正数.
【解析】因为，所以，.
所以，所以，
所以.
当且仅当，即时取等号，的最大值为.
关注因式是负数
【规律总结】如果所求因式都是负数，通常采用添负号变为正数的处理方法.
2.凑定型
(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值.
例4 求函数的最小值.
【解题关键】与的积不为定值，故需变形使积为定值.
【解析】因为，所以，.
所以，当且仅当，即时取等号，有最小值，且的最小值为5.
2.凑定型
(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值.
例5 已知，求函数的最大值.
【解题关键】不为定值，为定值.
【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时，有最大值，且的最大值为.
合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此类问题的关键.
【规律总结】
例6 已知x>0,y>0,且,求 的最小值.
3.整体代换型
这个解法正确吗？
【解析】因为，所以，即.所以，即的最小值为.
不正确.
过程中两次运用了基本不等式中取“=”过渡，而这两次取“=”的条件是不同的，故结果错误.
【错因分析】本题给定约束条件，来求的最小值，注意到，故可以采用 乘“1”构造使用基本不等式的条件.
例6 已知x>0,y>0,且,求 的最小值.
3.整体代换型
【正确解析】令，
当且仅当，即时，取等号，
而解得即此时.
对于给定条件求最值的问题，常可采用乘“1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件.
【规律总结】
基本不等式的应用
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求最值
证明不等式
实际应用
(1)整体代换求最值
①根据变形确定定值；②把定值变形为1；③构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值.
(2)证明不等式的方法与特征：
①方法：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求问题，
②特征：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”
(1)证明不等式：
①多次使用基本不等式，要注意等号能否成立;
②注意使用;累加法和拼凑法
(2)用基本不等式解决实际问题时，注意变量的取值范围、等号能否取到，最终结果要转化为实际意义
数学建模：通过基本不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养
逻辑推理：通过不等式的证明，培养逻辑推理的核心素养
当且仅当
即
时，
有最小值1.
1.若 则 为何值时
有最小值，最小值为多少？
3.x>0,y>0 且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。
【解析】由题意得2x+8y=xy
预备十二分的力量，才能希望有十分的成功。
——张太雷

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