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河南省鹤壁市2025-2026学年八年级下学期6月期末
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有理式中，是分式的有( )，，，，，，，．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有克，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，位于第三象限内的点是( )
A. B. C. D.
4.若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.一次函数经过点，由直线平移得到，则此函数的表达式为( )
A. B. C. D.
6.已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
7.已知函数与的图象交于点，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
8.如图，，，平分，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，则的长是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，是对角线上两个动点，给出下列四个条件：；，；，分别平分，；选择其中一个条件，能判断四边形是平行四边形的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.如图，点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动，点运动到点时，停止运动．图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如果分式有意义，则实数的取值范围是 ．
12.某单位招聘一名员工，从专业知识、工作业绩、面试成绩三个方面进行考核考核的满分均为分方面的权重比依次为：：小明经过考核后所得的分数依次为，，分，那么小明考核的最后得分是 ．
13.已知点，，在反比例函数为任意实数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．
14.在菱形中，，，则平行线与之间的距离为 ．
15.在正方形中，点、分别是边、上两点，，，且，过点作于点，连接有下列三个结论：；；，其中正确的是 填序号
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解答下列各题
计算：；
先化简，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值．
17.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数．
求一次函数与反比例函数的表达式；
根据图象，直接写出不等式的解集 ；
在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
18.本小题分
定义：任意两个数，，按照规则得到一个新数，则称新数为，的“共生数”．
若，，则，的“共生数”是 ；
若，，且，求，的“共生数”；
若，，且，的“共生数”是一个整数，直接写出所有整数的值．
19.本小题分
鹤壁市某学校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加米比赛．对这四名运动员最近次米跑测试成绩单位：的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
甲、乙两名运动员次测试成绩的折线图：
丙运动员次测试成绩：
，
四名运动员次测试成绩的平均数、中位数、方差
甲 乙 丙 丁
平均数
中位数
方差
表中的值为 ，表中 填“”“”或“”；
计算表中的值．
根据这次测试成绩，教练按如下方式对这四名运动员的成绩进行排名：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．请你根据评选规则，直接写出第一名是 ，第二名是 ．
20.本小题分
在矩形中，点是对角线的中点，过点的直线分别与、交于点、，________，连结，在，，平分三个条件中选择其中一个，补充在上面的横线上．
求证：四边形是菱形．
21.本小题分
年月日是第个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知乙种路灯的单价比甲种路灯的单价多元，且用元购买甲种路灯的数量与用元购买乙种路灯的数量相同．
求甲、乙两种路灯的单价；
该社区计划购买甲、乙两种路灯共盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
22.本小题分
如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，以对角线为斜边作，连接，，且．
求证：
四边形为平行四边形；
平行四边形为矩形．
23.本小题分
在正方形中，点是射线上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，过点作交射线于点，连接．
如图，当点是的中点时，直接写出与的数量关系．
如图，当点为边上任意一点时，中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
如图，当，时，点是射线上一个动点，连接，，当四边形为平行四边形时，直接写出对角线的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】分
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题】
原式
【小题】
原式

为了使分式有意义，，，，

当时，原式．

17.【答案】【小题】
解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数．
，解得，
故反比例函数的解析式为；
，
故点的坐标为；
设的解析式为，
根据题意，得
解得
的解析式为；
【小题】
或
【小题】
解：设直线与轴交于点，
根据题意，得，，
，
，
过点作轴于点，
则，
，
，
故是等腰直角三角形，
，
；
过点作于点，交轴于点，
则，
，
，
故是等腰直角三角形，
，
，，
；
解得，
故；

18.【答案】【小题】
【小题】
解：当，时，得；
，
；
【小题】
解：当，时，得，且，
故
“共生数”是一个整数，
或；
解得或；

19.【答案】【小题】
【小题】
解：根据题意，得；
【小题】
乙
丁

20.【答案】选或；
选证明过程如下：
四边形是矩形，
，
，
点是的中点，
，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
选证明过程如下：
四边形是矩形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
四边形是菱形．

21.【答案】【小题】
解：设甲种路灯的单价为元，则乙种路灯的单价为元．
由题意，得．
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
故甲、乙两种路灯的单价分别为元、元．
【小题】
解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏．
由题意，得．
解得．
设购买费用为元，则，
，
随着的增大而减少．
当时，取得最小值，即所需费用最少．
最省钱的购买方案为购买甲种路灯盏，乙种路灯盏．

22.【答案】【小题】
证明：，，
，，，
四边形为平行四边形．
【小题】
证明：如图，连接，
四边形为平行四边形，，，
，，，
，平行四边形为矩形．

23.【答案】【小题】
解：与的数量关系为；理由如下：
，．
四边形是正方形，
，，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【小题】
结论成立．理由如下：
，四边形是正方形，，，，
绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【小题】
解：当点在上时，如图，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
根据证明，得，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，

；
当点在的延长线上时，如图，过点作，交的延长线于点，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
根据证明，得，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，

．

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