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第三章函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念
7
1
13
2
A
B
f
x
y
魔盒中有什么秘密？1,2按照什么法则对应上了7,13？
魔盒
正比例函数:y=kx (k≠0);
反比例函数: y=k/x (k≠0);
一次函数: y=kx+b (k≠0);
二次函数:y=ax2+bx+c (a≠0)
1.初中所学的函数的概念是什么？
在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应. 那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量.
2.初中学过哪些函数？
【温故知新】
高中是怎么定义函数概念的？请进入本节课的学习！
1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.（重点、难点）
2.能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域和值域.
3.会求一些简单函数的定义域和值域.（重点）
1.数学抽象：通过函数的判断，培养数学抽象的核心素养
2.数学运算：通过函数定义域的求法，培养数学运算的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
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观察下列三个实例有什么不同点和共同点？
1.炮弹的射高与时间的变化关系问题
一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律为:h=130t-5t2.
微课1 函数的概念
这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t2,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.
2.南极臭氧层空洞面积与时间的变化关系问题
近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.如下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
由图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变
化范围是数集B ={S|0≤S<26}.并且，对于数集
A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B
中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.
3.“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.如下表所示 “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数情况. (恩格尔系数=食物支出金额/总支出金额)
时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
城镇居民恩格尔系数（﹪） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
提示：
不同点
实例1是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例2是用图象刻画变量之间的对应关系，
实例3是用表格刻画变量之间的对应关系.
共同点
（1）都有两个非空数集.
（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系.
函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关
系f，使对于集合A中的任意一个数x ，在集合B中都
有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为
从集合A到集合B的一个函数，记作
y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的
定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数
值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
文字语言
符号语言
1.如何理解“ ”？
提示：当a为常数时，f(a)表示的是自变量x=a时对
应的函数值，是一个常数;而f(x)表示y是变量x的
函数,是函数符号.
提示：符号y=f(x)表示“ y是变量x的函数”，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积。
【特别提醒】
对于函数y=f (x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数
②对于不同的x,y的值也不同
③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量
④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
【即时训练】
(2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应.
(3)构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系(f：A→B).
(1) A，B是非空数集.
函数概念中的关键词
【规律总结】
例1 已知函数
(1)求函数的定义域.（2）求 的值.
(3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值.
【解题关键】函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.
解：（1） 有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，
有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}，所以，这个函数
的定义域就是 .
(2)
（3）因为a>0，所以f(a),f(a-1)有意义.
已知f(x)=3x－2, x∈{0,1,2,3,5}，
求f(0), f(3)和函数的值域.
解：
值域为
【变式练习】
初中各类函数的对应关系、定义域、值域分别是什么？
函数 对应关系 定义域 值域
正比例函数
反比例函数
一次函数
二次函数
R
R
R
R
R
【总结提升】
y=x与 是同一函数吗？
提示：不是，定义域不同
微课2 相等函数
思考1：
思考2:两个函数相等与表示自变量和函数值的字母有关吗？
提示：因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量是无关紧要的，如f(x)=3x+4与f(t)=3t+4表示相等函数.
思考3：如何判断两个函数是否为同一函数
提示：构成函数的三个要素是对应关系f、定义域A、值域{f(x)|x∈A}，只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)．
给出四个命题：
①定义域相同，值域相同的两个函数相等。
②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一
个元素
③因为f(x)=5(x∈R),这个函数值不随x的变化范围而
变化，所以f(0)=5也成立
④定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了
正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
【即时训练】
例2 下列函数中哪个与函数y=x相等( )
A. B.
C. D.
B
如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等（或为同一函数）
关注函数的三要素
下列两个函数是否表示同一个函数？
（1）
（2）
（3）
（4）
是
不是，定义域不同
不是，定义域不同
不是，对应关系不同
【变式练习】
【规律总结】
判断两个函数是否相等应注意的几点：
(1)相等函数的图像完全相同，因此，有时可以借助于函数的图像来判断两个函数是否相等.
(2)值域是由定义域和对应关系决定的，因此，值域不相同时，两个函数必不相等.
(3)检验两个函数的定义域和对应关系是否相同，要看它们的实质，即定义域是由哪些数所组成的，定义域中的数是如何对应到值域中的.
(4)要注意的是：即使定义域和值域分别相同的两个函数也不一定相等.
设a，b是两个实数，而且a微课3 区间的概念
⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示
为_______.
⒉满足不等式a_______.
⒊满足不等式a≤x半闭区间，分别表示为_________________，
这里的_________都叫做相应区间的端点.
[a，b]
(a，b)
[a，b），（a，b]
实数a与b
集合表示 区间表示 数轴表示
{x|a＜x＜b} (a,b)
{x|a≤x≤b} [a,b]
{x|a≤x＜b} [a, b)
{x|a＜x≤b} (a,b]
{x|x＜a} (-∞,a)
{x|x≤a} (－∞,a]
{x|x＞b} (b, +∞)
{x|x≥b} [b, +∞)
{x|x∈R} (－∞,+∞)
。
。
a
b
.
.
a
b
.
。
a
b
。
a
。
b
.
a
.
b
数轴上所有的点
b
a
。
.
思考：区间可以表示数集，数集一定可以用区间表示吗
提示：区间可以表示数集，但只能表示一些连续的实数集的子集，一些孤立的数集不一定可以用区间表示，如集合{1,2,3}不能用区间表示.
1、区间是一种表示连续性的数集.
2、定义域、值域经常用区间表示.
3、实心点表示包括在区间内的端点，空心点表示不 包括在区间内的端点.
【规律总结】
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5≤x<6}
（2）{x|x≥9}
（3）{x|x≤-1} ∩{x|-5≤x<2}
（4）{x|x<-9}∪{x|9【即时训练】
例3 把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥-2}.
(2){x|x＜0}.
(3){x|-1＜x＜1或2≤x＜6}.
解析：(1){x|x≥-2}用区间表示为［-2,+∞).
(2){x|x＜0}用区间表示为(-∞，0).
(3){x|-1＜x＜1或2≤x＜6}用区间表示为 (-1，1)∪［2，6).
设全集为R，函数f（x）=
的定义域为M，
A.（-∞，1） B.（1，+∞）
C.（-∞，1] D.[1，+∞）
【解析】选B.由1-x≥0，得x≤1，即M=（-∞，1]，
又全集为R，所以 RM=（1，+∞）．
B
则 RM为（　　）
【变式练习】
1.区间是一个数集，所有的数集都可以用区间表
示.( )
2.因为区间是表示数集的一种形式，因此对于集合
运算仍然成立. ( )
√
×
【易错点拨】
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
区
间
符号表示
数轴表示
概念
三要素
函数
定义域
对应关系
值域
两数集间的对应
定义域的求法：
（1）分母不为零
（2）偶次根式被开方式非负
（3）自变量的实际意义
1.在区间表示中，右端点的值一定大于左端点的值
3.求函数定义域前，尽量不要对函数解析式化简变形，以免引起定义域的变化
2.以∞为端点时，区间这一端一定是小括号
1.数学抽象：通过函数的判断，培养数学抽象的核心素养
2.数学运算：通过函数定义域的求法，培养数学运算的核心素养
1.下列图象中能作为函数图象的是( ).
A
B
C
D
D
【解析】因为函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线x=c（c∈P）都只有一个交点；选项A,B,C中均存在直线x=c与图象有两个交点，故不能构成函数.
2.下列各组函数表示相等函数的是( )
A.f(x)=x-2,g(x)= B.f(x)= ,g(x)=1
C.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t D.f(x)= ,g(x)=
C
【解析】选C.A中f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠-2}，不同;B中f（x）的定义域为{x|x≠0}. g（x）的定义域为R.C中f（x）， g（t）中的变量只是字母不同，形式相同为相等函数.D中f（x）的定义域为R. g（x）的定义域为{x|x≠1}.故A,B,D不是相等函数.
[-3，1]
　　青春是有限的，智慧是无穷的，趁短暂的青春，学习无穷的智慧。

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