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湖北武汉市黄陂区2025-2026学年高一下学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知数据，，，的平均数为，数据，，，的平均数为，则数据，，，，，，，的平均数为( )
A. B. C. D.
3.设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，则
B. ，
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4.已知圆锥的底面圆的直径为，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积等于( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是( )
A. 四棱锥 B. 四棱锥
C. 三棱锥 D. 三棱锥
7.若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 在中，若，则
B. 数据，，，，，，，的下四分位数是
C. 若，则为等腰三角形
D. 若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”如图所示，则样本数据的平均数大于中位数
10.已知等边三角形的边长为，，，交于点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则为的三等分点
D. 若，则
11.如图，四棱锥的底面是正方形，，平面，为上动点，过点作垂直的截面，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得二面角为
C. 存在点，使得直线与平面所成角为
D. 存在点，使得截面截该四棱锥截得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，，的方差为，则，，，的方差为 ．
13.在中，为边上一点，，，，且的面积为，则的值为 ．
14.如图，在棱长为的正方体中，为棱上一点，满足，为正方形内一动点含边界，且满足平面，则线段长度的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面上的两个向量．
若与平行，求的值；
若与垂直，求的值．
16.本小题分
为了了解市民的安全意识，某市进行了安全问题问卷调查，为了解全市参与者的成绩情况，从所有参与者中随机抽取了人的成绩均为整数作为样本，将其整理后分为组，并作出了如图所示的频率分布直方图最低分，最高分．
求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在分以上的人数；
若划定成绩大于或等于第百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参与者的成绩在“良好”以上等级的范围；成绩取整数
已知样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为，方差为，成绩在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差．
设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差
17.本小题分
已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形．
求证：平面平面
求点到平面的距离；
若点是线段上的动点包括端点，设直线与平面所成的角为，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在中，，，是的角平分线，且．
求；
若，是线段上的动点包括端点，且，记为，
用表示；
求面积的最小值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，为的中点，点在平面内的射影为点，且．
求证：；
当为等边三角形时，求点到平面的距离；
若，记三棱锥的外接球表面积为，当函数取最小值时，二面角的大小为，求实数的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：与平行，
与垂直，，
即，
故，
即
由于，所以，则或，
故或

16.【答案】由．
所以样本中成绩在分以上的人数为：．
因为，，
所以成绩的第百分位数在区间内，
由，
因为成绩为整数，所以成绩在的可以评为“良好”以上等级．
设成绩在的平均数为，方差为，
由，解得．
由，解得．
所以成绩在内的平均数为，方差为．

17.【答案】证明：点在底面上的射影为与的交点，
平面，又平面，故平面平面；
解：由题意可得 与 都是边长为的等边三角形，
， ，
， ，
，
设点 到平面 的距离为 ，
由 得 ，
即 ，解得 ．
故点 到平面 的距离为 ；
解：设直线 与平面 所成的角为 ，
平面，平面，
所以 ，
到平面 的距离即为 到平面 的距离 ．
过 作垂线 平面 交于点 ，则 ，
此时 ，
，
当 时 最小为 ，此时 最小为 ；
当 与 重合时 最大为 ，此时 最大为 ．
即，
．

18.【答案】解：在中，，，，
由余弦定理，
得到，故．
因为，得，
又是的角平分线，故，，
在中，，，故，
又，在中，，则，
在中，由正弦定理得，
又，所以，
由在线段上，且，，则，
所以，．
因为，，
在中，由正弦定理，即，
在中，由正弦定理，得到，
又的面积，
所以，
又
，
所以，
所以，又，则，所以
则，此时．

19.【答案】解：证明：由题意知平面，
平面，，
，，，平面，
平面，
平面，．
如图，作，，垂足分别为，，连接，，
若为等边三角形，则为中点，
平面，平面，则，
，，，平面，平面，
平面，，
对于平面四边形，以为坐标原点，为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，，，，
设，则，，
若，则，，
为中点，，则，即，
由，，可知直线：，且，
设，则，
由，得，
解得，即，
则，，
三棱锥的高，
在中，边的高，
设点到平面的距离为，
由，可得，
解得，
点到平面的距离为．
由题意可知，，
由可知点在直线上，
结合中数据可得：
，，
在中，由余弦定理得：
，
设的外接圆半径为，则，
设三棱锥的外接球半径为，
则
，
，
当时，取到最小值，
即外接球表面积取到最小值，
此时，
由可设，，则，
解得，即，可知，且，，，
过作，垂足为，
平面，平面，，
，，平面，
平面，
平面，，
，，平面，
平面，
平面，，
平面与平面夹角的大小为，
则，
可得，
结合的面积可得，
则，
解得，且，
解得，
．
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