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2026-2027高三数学暑假作业01
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·温州模拟）已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（　　）
A． B． C．1 D．
2．（2025·广州模拟）已知复数满足，则的最小值为
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2025·北京）已知复数z满足，则|z|=（　　）
A． B．2 C．4 D．8
4．（2025·温州模拟）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·北京）集合，，则=（　　）
A．{1，2，3} B．{2，3} C．{3} D．
6．（2025·北京） 双曲线 的离心率为（　　）。
A． B． C． D．
7．（2024高一下·东莞期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·广州模拟）的展开式中的系数为（　　）
A．24 B． C． D．
9．（2025·枣庄模拟）已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（　　）
A． B．1 C． D．2
10．（2025·枣庄模拟）已知为等比数列，且，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2025·北京）已知函数f（x）的定义域为D，则“函数f（x）的值域为R”是“对任意，存在，使得|f（x0）|＞M”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2025·温州模拟）已知，则（　　）
A．3 B．2 C． D．
13．（2025·温州模拟）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
14．（2025·北京）已知是公差不为0的等差数列，a1=-2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10=（　　）
A．-20 B．-18 C．16 D．18
15．（2025·北京）为得到函数y=9x的图象，只需把函数y=3x的图象上的所有点（　　）
A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
16．（2025高三上·武强期中）已知a>0，b>0，则（　　）
A． B． C． D．
17．（2025·北京）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　）
A．2 B．4 C．20 D．40
18．（2025·广州模拟）已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与相交于两点，且，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
19．（2025·枣庄模拟）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
20．（2025·枣庄模拟）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
21．（2025·枣庄模拟）已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
22．（2025·浙江模拟）如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
23．（2025·义乌模拟）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（2025·义乌模拟）已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，若，则的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
25．（2025·湖南模拟）甲 乙 丙 丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为，目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为，目标被三人击中而摧毁的概率为，若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为（　　）
A． B． C． D．
26．（2025·北京） 设函数，若恒成立，且f（x）在上存在零点，则的最小值为（　　）。
A．8 B．6 C．4 D．3
27．（2025·温州模拟）已知函数的定义域为，，，且，则（　　）
A． B．
C． D．
28．（2025·北京） 已知平面直角坐标系 xOy 中，，，设 C（3，4），则 的取值范围是（　　）。
A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]
29．（2025·温州模拟）已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
30．（2025·荔湾模拟）已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，互斥，则 B．若，相互独立，则
C．若，相互独立，则 D．若，则
31．（2025·浙江模拟）下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量服从正态分布，且，则
B．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是8
C．在一元线性回归模型中，若决定系数，则残差的平方和为0
D．和的方差分别为和，若且，则
32．（2025·枣庄模拟）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．的图象关于轴对称 B．是的一个周期
C．在上为增函数 D．
33．（2025·永州模拟）已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增
C．曲线关于直线对称 D．
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
34．（2025·温州模拟）2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有　 　种．
35．（2025·义乌模拟）已知等差数列的前n项和为，，则公差　 　.
36．（2025·枣庄模拟）已知函数则的值为　 　.
37．（2025·永州模拟）已知函数是偶函数，则　 　.
38．（2025·枣庄模拟）已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为　 　.
39．（2025·北京） 已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则p=　 　.
40．（2025·湛江模拟）已知双曲线的离心率为，则　 　．
41．（2025·北京） 已知 ，则 　 　；　 　.
42．（2025·荔湾模拟）展开式中的常数项为　 　。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
43．（2025·荔湾模拟）已知数列满足，，且对任意的，，都有.
（1）设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求的前n项和.
44．（2025·北京）在△ABC中，，
（1）求c；
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高.
①，②，③面积为
45．（2025·北京）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率ρ；
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；
（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100％，乙校学生选择正确的概率为85％.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小（结论不要求证明）.
46．（2025·北京）四棱锥P—ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90° ，E为BC的中点.
（1）F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥面PAB；
（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求AB与面PCD所成角的正弦值.
47．（2025·荔湾模拟）已知函数．
（1）若，求函数的极值点；
（2）讨论的单调性．
48．（2025·北京）已知椭圆E： 的离心率为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.
（1）求椭圆方程；
（2）设O为原点，为椭圆上一点，直线 与 和y=-2分别相交于A、B两点，设△OMA和△OMB的面积分别为S1和S2，比较和的大小.
49．（2025·荔湾模拟）已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为．
（1）求双曲线的方程：
（2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程．
50．（2025·枣庄模拟）已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上，
（1）求的方程；
（2）若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值.
2026-2027高三数学暑假作业01答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意可知，，所以z=i，所以的虚部是1．
故选：C.
【分析】由复数除法运算先求得，再根据共轭复数概念即可求得复数z，进而即可求得z的虚部.
2．【答案】B
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设，根据可知z对应的点在如图所示的以(0，2)为圆心，1为半径的圆上，
又 表示圆上的点到原点的距离，所以 的最小值为2-1=1
故选：B．
【分析】根据复数模的几何意义可知复数z对应点的轨迹为圆，再求出圆上的点到原点的距离的最小值即可求得的最小值 ．
3．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：设复数，由，可得，
则，即，故.
故答案为：B.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算结合复数相等求得，再求即可.
4．【答案】C
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意可知，，所以．
故选：C.
【分析】由对数函数单调性先求得集合B，进而即可求得.
5．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先求集合A，再根据集合的交集运算求解即可.
6．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的标准方程为，则离心率.
故答案为：B.
【分析】化双曲线方程为标准方程，根据离心率公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选：D.
【分析】结合已知条件先求出，进而利用数量积的定义求出，再根据投影向量的定义计算可得在方向上的投影向量为.
8．【答案】D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：，
因为展开式的通项为，
所以的展开式中含的项为，
所以展开式中的系数为-40．
故选：D.
【分析】先将式子化为，进而求出展开式的通项，进而求得展开式中含的项，即可求出展开式中的系数.
9．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，
则，
因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则，从而得出，再利用勾股定理得出高的值，再根据圆锥的体积公式和已知条件，从而得出该圆锥的底面半径.
10．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由题意知，为等比数列，
当时，得，所以，
故充分性成立；
当时，，解得，
又因为同号，所以，
故必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】由等比中项公式和充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
11．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域
【解析】【解答】解： 对任意，存在， 使得，等价于，显然
的值域为，能推出，反之不成立，则函数的定义域为，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据函数值域的概念结合充分、必要条件的概念判断即可.
12．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得
故选：C.
【分析】利用两角和的正切公式求解即可.
13．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由题意可知圆的圆心O为(0.0)，半径为1，圆 的圆心O'为(3，0)，半径为r，所以|OO'|=3，
所以，解得：．
所以的取值范围为 [2，4].
故选：B.
【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可求得的取值范围.
14．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，且，
若成等比数列，则，即，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】设等差数列的公差为，且，根据等比中项结合等差数列通项公式列式求得，再根据等差数列的通项公式求即可.
15．【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：函数，
则为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变.
故答案为：A.
【分析】易知函数，再根据函数图象的伸缩，平移变换判断即可.
16．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、取，，，故B错误；
C、因为，所以，故C正确；
D、取，，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】当时，即可判断A；取特殊值即可判断BD；利用基本不等式即可判断C.
17．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设训练数据量为的时间分别为，
，
，
，
因为，解得，
所以，
则当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合对数运算性质求解即可.
18．【答案】D
【知识点】椭圆的应用；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意作出图形如图所示：
设，又，所以，
又，，所以，所以，
又因为，所以，解得，
所以，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
所以，
整理得，所以，解得.
故选：D.
【分析】设，利用椭圆的定义可得，进而可得在，中，由余弦定理可得，化简即可求得离心率.
19．【答案】A
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为是由与复合而成，
在中，，
所以在上单调递减，
因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，
可知内层函数在上单调递增，
对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为，
又因为二次函数在对称轴右侧单调递增，
要使在上单调递增，
则对称轴需满足，
解得.
故答案为：A.
【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，从而求出实数的取值范围.
20．【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：对进行化简，
得出
令，则，
则．
根据正弦函数的性质，
所以或，
解得或，
因为且，
当时，，；
当时，，，
函数和大致图象如图，
因为函数在区间上有且仅有个零点，
则需满足，
解不等式组得到可得，
所以，实数的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】先利用辅助角公式将函数化简为的形式，再根据的取值范围求出的取值范围，再结合正弦型函数的图象与性质，从而得出函数在给定区间上有且仅有个零点时的取值范围．
21．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图，
因为椭圆关于原点对称，直线过原点，
所以，关于原点对称，
设椭圆的左焦点为，连接，，
由椭圆的对称性可得，
所以四边形为平行四边形，
又因为，
所以平行四边形是矩形，
所以，，
所以点在圆上，
则，
解得，
代入椭圆方程，
又因为，
可得：，
设（），
则上式可化为，
化简可得，
则，
又因为，
所以，
解得，
所以，椭圆的离心率为.
故答案为：A.
【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据方程联立得出点，再代入椭圆方程，从而构造齐次式得出，再利用解方程的方法和椭圆的离心率的取值范围，从而得出椭圆的离心率.
22．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设左焦点为，则，，，，
在中用勾股定理，化简得，
所以
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】先利用椭圆及双曲线定义可得，，，，再利用勾股定理可得，最后利用离心率定义即可求解.
23．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：求导得，
要满足函数在区间上单调递增，
则，
所以，
因为，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用导数的正负和函数的单调性的关系，则得出导数值恒大于或等于0，再利用分离参变量思想结合x的取值范围，从而得出实数a的取值范围.
24．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由抛物线，
则焦点，
设，，
易知
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
则，
所以，
解得；
当直线的斜率存在时，可设直线方程为，
代入，整理可得，
因为，，
所以，当且仅当时，等号成立，
则，
解得，
综上所述，的最大值为.
故答案为：A.
【分析】由抛物线标准方程可得焦点坐标，分直线斜率存在与不存在两种情况，从而建立方程，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出p的取值范围，进而得出p的最大值.
25．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布；全概率公式
【解析】【解答】解：设击中次数为，则，
所以，
，
由全概率公式得，目标被摧毁的概率为.
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得击中次数服从二项分布，从而分别求得其对应概率，再由全概率公式代入计算得出目标被摧毁的概率.
26．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
若恒成立，则函数的周期为，即kT=π，解得，
因为函数在上存在零点，当时，，
所以，即，则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】利用辅助角公式化简函数，结合正弦函数的周期、零点求解即可.
27．【答案】C
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、令，得，
又因为，所以，解得，故选项A错误；
B、令，得，
又因为，，所以，解得，故选项B错误；
C、令，得，
又因为，所以，
因为，所以，，
所以，故选项C正确；
D、因为，所以，
所以，
，
又因为，所以，故选项D错误.
故选：C.
【分析】利用赋值法令，即可求得f(1)，可判断选项A；令，即可求得f(-1)可判断选项B；利用赋值法令，可得，又进而可得，即可判断选项C；由及可判断选项D.
28．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，所以，即，
因为，，
所以，易知，
则
，
因为，所以，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，用表示，结合向量数量积运算求解即可.
29．【答案】A
【知识点】双曲线的应用；解三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
因为，、分别为、的中点，所以，
又因为，，
所以，所以，
由题意可知，所以为钝角，
因为，
所以，
在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，即，解得e=4或e=-1(舍去)．
所以双曲线的离心率为4，
故选：A.
【分析】作出图形，证明出，可得出，根据双曲线的性质可知，进而求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值.
30．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于，若，互斥，
根据互斥事件的概率加法公式.
因为，，
则，故正确；
对于，若，相互独立，
则与也相互独立，
因为，
所以，故错误；
对于，若，相互独立，
则.
根据概率的加法公式，
将，，，
代入可得：，故正确；
对于，因为，，
所以.
则，
.
根据条件概率公式得出，故正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和互斥事件加法求概率公式、相互独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式和条件概率公式，从而逐项判断找出结论正确的选项.
31．【答案】A,C
【知识点】回归分析；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、因为，又，
则，故A正确；
B、因为，
所以数据5，8，10，12，13的第40百分位数是，故B错误；
C、若决定系数，则散点图中的散点均落在一条斜率非0的直线上，
所以残差的平方和为0，故C正确；
对于选项D，设的平均数为，，，，的平均数为，
因为，则，
又，
，
所以，故选D错误.
故答案为：AC
【分析】利用正态分布的对称性即可判断A；利用百分位数的定义即可判断B；利用残差的概念即可判断C；利用平均数定义得到，再利用方差的计算公式即可判断D.
32．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，因为函数的定义域为，关于原点对称，
所以，
所以是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；
对于B，因为，
所以的一个周期是，故B正确；
对于C，令，当时，在上单调递减，
且，在上单调递增，
则在上单调递减，
所以在上单调递减函数，故C错误；
对于D，因为，令，
则，求导得，
又因为，
所以，单调递增，
当时，取得最大值；
当时，取得最小值，
又因为，
所以，
则 ，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先利用诱导公式证出，再结合偶函数定义可判断选项A；利用可判断选项B；利用三角型函数的性质可判断选项C；利用导数正负判断函数的单调性，从而求出函数的最值，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
33．【答案】A,B,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A ，
因为
，
则是的周期，
假设其最小正周期，
则对任意恒成立，
故当时，，
则①，
当时，，
则②，
当时，，
则③，
①②两式相加得，
因为，所以，
则或或，
所以或或，
经检验，当或时，①式不成立；
当时，③式不成立，
所以，是的最小正周期，故A正确；
对于B，当时，
，
则在上单调递增，故B正确；
对于C，因为，，
所以，
则曲线不关于直线对称，故C错误；
对于D，先证明，
令，
则，
则在上单调递减，
则，
所以，
则，等号成立时，
当时，，
则当时，得，
又因为和均为偶函数，
则恒成立且等号成立时，
则
，等号成立时，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由得是的周期，再利用反证法证出是的最小正周期，则判断出选项A；利用导函数判断函数的单调性，则判断出选项B；利用已知条件计算得出，则判断出曲线不关于直线对称，则可判断选项C；先证明，再利用不等式放缩，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
34．【答案】9
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：当甲乙两所学校都不报名时有种报法；当甲乙选其中一所学校报名时有种报法；
所以某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有种．
故答案为：9.
【分析】分甲乙两所学校都不报名和甲乙选其中一所学校报名两种情况进行讨论即可.
35．【答案】2
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得.
故答案为：.
【分析】根据等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，从而建立方程组，进而解方程组得出首项和公差的值.
36．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以.
故答案为：.
【分析】由分段函数的解析式，先求出的值，再求出的值即可.
37．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数是偶函数，且定义域为，
所以，
则，
所以，
则恒成立，
所以且，
解得.
故答案为：.
【分析】根据题意结合偶函数的定义，则得到，从而得出恒成立，进而得出的值.
38．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，得，
设点，
则，
由抛物线的定义，得，
所以，
又因为，
当时，；
当时，
当且仅当时，即当时取等号，
所以，
当时，
当且仅当时，即当时取等号，
所以，
综上所述，当时，取得最小值，此时，
得点，
所以.
故答案为：.
【分析】设点，由抛物线的定义得，再利用两点间的距离公式得出，则，从而只需得出的最大值，即得出取最小值，再利用两点求斜率公式得出当取最小值时的直线的斜率.
39．【答案】6
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线顶点到焦点得距离为3，所以，则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据抛物线的性质列式求解即可.
40．【答案】3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线，
得，
所以
则双曲线C的离心率为，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】利用双曲线方程中三者的关系式结合双曲线的离心率公式，从而列式计算得出实数的值.
41．【答案】1；15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：，
令，可得；
令，可得，则.
故答案为：；.
【分析】利用赋值法求解即可.
42．【答案】4
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
又因为3个因式中每个因式都包含三个项，
若要得到常数项，
第一种方法是3个都取1，为，
第二种方法是取2个，1个，为，
所以，展开式的常数项为.
故答案为：4.
【分析】利用展开式中常数项的生成过程，再结合组合数公式，从而求和得出展开式中的常数项.
43．【答案】（1）证明：由，得，
所以，
因为，，解得，
又因为，所以，
则数列是以公差为3，首项为的等差数列，
所以.
（2）解：由（1），得，
所以
上式相加得：
所以，
所以.
（3）解：由（2）得，
所以，
所以
，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由得出的值，再根据等差数列的定义验证是否为不变的常数，从而判断出数列是以公差为3，首项为的等差数列，再利用等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
（2）由（1）得出，再利用累加法得出数列的通项公式.
（3）由得出，再利用裂项相消法，从而得出数列的前n项和.
（1）由有，
所以，又，，解得，
又因为，即，
所以数列是以公差为3，首项为的等差数列，
所以，
（2）由（1）有，
所以，
上式相加有，
所以，
所以；
（3）由（2）有，
所以，
所以
，
所以.
44．【答案】（1）解：由，可得为钝角三角形，且，
由正弦定理，可得，即，解得；
（2）解：如图所示：
选①、由，，可得，再由，可得角为钝角，矛盾；
选②、，，
，
存在，且边上的高为；
选③、面积为，
由（1），，则，解得，
由余弦定理，可得，即，
，解得，
则边上的高为.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理求解即可；
（2）选①、由题意，推出矛盾，可知不存在；
选②、由求得，再求，可知存在，再求边上的高即可；
选③，由三角形面积公式，结合余弦定理求解即可.
45．【答案】（1）解：记事件=“甲校中随机抽取1人，这个人答对题目”，则 ；
（2）解：由(1)可知，乙校中随机抽取1人，这个人答对题目的概率为事件B，则，
从甲乙两校各随机抽取1人，恰有1人做对的概率为：
=；
由题意可知：的可能取值为，
，
，
，
的分布列为：
；
（3）解：由题意可得：，解得，
，解得 ，
则.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用频率估计概率即可；
（2）利用独立事件求恰有1人做对的概率，得分布列，再求期望即可；
（3）由题意，可得的方程，求解比较大小即可.
46．【答案】（1）证明：取的中点，的中点，连接，
因为与均为等腰直角三角形，所以，
设，则，，
因为分别为的中点，所以，，
又因为，所以，，
即四边形为平行四边形，，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，，，
设平面PCD的一个法向量为 ，
则 ，即，取 ，， ，即，
设与平面成的角为
则 ，
即与平面成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，的中点，连接，只需要证，即可得平面；
（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
47．【答案】（1）解：当时，函数，
求导得，
令，则，
列表如下：
1
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
所以的极大值点为，极小值点为1.
（2）解：因为函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在（0，1）上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；
由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；
由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）由a的值得出函数的解析式，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的极值点.
（2）先求导，并对导数分解因式，再结合二次函数的性质和导数正负与函数单调性的关系，从而讨论出函数的单调性．
（1）当时，函数，求导得，
令，则，列表有
1
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
所以的极大值点为，极小值点为1.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在（0，1）上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为，上单调递增，递减区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，，递减区间为．
48．【答案】（1）解：由题意可得，解得，则椭圆方程为；
（2）解：因为直线与直线和分别交于两点，
所以，，
设，则 ，
因为点在椭圆上，所以，整理可得，
则，
，
因为，所以，所以，
则，即.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程组，求解即可；
（2）由题意求得的坐标，设，利用倾斜角间的关系得到，再根据三角形的面积公式求解即可.
49．【答案】（1）解：由题意，知，得，
所以或，
则或，
所以，双曲线的方程为：，
或双曲线的方程为：．
（2）证明：由（1）知，
当时，双曲线：，
设，，
联立直线与双曲线，
得，
又因为，方程的两根为，，
则，．
所以，，
则直线：，直线：，
因为直线，相交于点，
所以，，
消去，整理得：，
，
因此，
故点在定直线上．

【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的实轴长度得出a的值，再根据双曲线的渐近线夹角确定双曲线渐近线的斜率，从而确定b的取值，进而得出双曲线的方程.
（2）先联立直线方程与双曲线方程，根据韦达定理确定，两点坐标关系，从而表示出直线和直线的方程，再联立两直线方程结合已知条件，从而代入列出等式，代入韦达定理得出，从而证出点在定直线上，并求出定直线方程．
（1）由题知，得，
或，得或，
所以双曲线的方程为：或：．
（2）由（1）知，当时，：，
设，，
联立直线与双曲线得：，
，方程的两根为，，则，．
，，则：，：，
因为直线，相交于点，
故，，
消去，整理得：，
，
因此，
故点在定直线上．
50．【答案】（1）解：由题意，得，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：由已知条件得直线的斜率存在，
设其方程为，
所以，
所以，
由韦达定理得：，
又因为的平分线与轴垂直，
所以，
则，
所以，
则，
所以，
则，
所以或，
当时，直线的方程为，
则直线过点，不符合题意，
所以，
设倾斜角为，
则，，
所以直线的倾斜角为定值.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，则，再利用点在双曲线上，则由代入法得出a，b的值，从而得出双曲线的方程.
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，得出韦达定理式，利用的平分线与轴垂直得出，从而得出，再代入韦达定理和直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而证出直线的倾斜角为定值.
（1）由题意有，又点在双曲线上，所以，
解得，所以双曲线的方程为；
（2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设
所以，
所以，
由韦达定理有：，
又因为的平分线与轴垂直，所以，
即，所以，即，
所以，
即，所以或，
当时，直线的方程为，即直线过点，不符合题意，
所以，设倾斜角为，即，，
即直线的倾斜角为定值.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：107分
分值分布 客观题（占比） 47.0(43.9%)
主观题（占比） 60.0(56.1%)
题量分布 客观题（占比） 36(72.0%)
主观题（占比） 14(28.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 4(8.0%) 0.0(0.0%)
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 8(16.0%) 55.0(51.4%)
填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 9(18.0%) 10.0(9.3%)
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 29(58.0%) 42.0(39.3%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (38.0%)
2 容易 (46.0%)
3 困难 (16.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 椭圆的简单性质 15.0(14.0%) 48
2 用频率估计概率 15.0(14.0%) 45
3 直线与圆锥曲线的综合问题 15.0(14.0%) 21,22,24,38,48,49,50
4 条件概率 0.0(0.0%) 30
5 椭圆的应用 0.0(0.0%) 18
6 相互独立事件的概率乘法公式 15.0(14.0%) 30,45
7 双曲线的简单性质 4.0(3.7%) 6,40,49
8 互斥事件的概率加法公式 0.0(0.0%) 30
9 数列的求和 0.0(0.0%) 43
10 复数的基本概念 0.0(0.0%) 1
11 复数代数形式的乘除运算 4.0(3.7%) 1,3
12 二项分布 0.0(0.0%) 25
13 向量的模 4.0(3.7%) 28
14 回归分析 0.0(0.0%) 31
15 函数的零点与方程根的关系 0.0(0.0%) 20
16 锥体的体积公式及应用 0.0(0.0%) 9
17 直线与平面平行的判定 15.0(14.0%) 46
18 离散型随机变量及其分布列 15.0(14.0%) 25,45
19 函数恒成立问题 0.0(0.0%) 33
20 数列的通项公式 0.0(0.0%) 43
21 平面向量的数量积运算 6.0(5.6%) 7,28
22 分类加法计数原理 0.0(0.0%) 34
23 辅助角公式 4.0(3.7%) 20,26
24 抛物线的简单性质 5.0(4.7%) 39
25 对数函数的单调性与特殊点 0.0(0.0%) 4
26 利用导数研究函数的单调性 0.0(0.0%) 23,32,33,47
27 复数运算的几何意义 0.0(0.0%) 2
28 互斥事件与对立事件 0.0(0.0%) 30
29 解三角形 10.0(9.3%) 18,29,44
30 函数在某点取得极值的条件 0.0(0.0%) 47
31 共轭复数 0.0(0.0%) 1
32 交集及其运算 4.0(3.7%) 4,5
33 二项式系数 0.0(0.0%) 8
34 函数的图象与图象变化 4.0(3.7%) 15
35 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 2.0(1.9%) 7
36 椭圆的标准方程 15.0(14.0%) 48
37 利用导数研究函数最大（小）值 0.0(0.0%) 32
38 扇形的弧长与面积 0.0(0.0%) 9
39 离散型随机变量的期望与方差 15.0(14.0%) 45
40 平面向量的投影向量 2.0(1.9%) 7
41 二项式定理的应用 0.0(0.0%) 42
42 正态密度曲线的特点 0.0(0.0%) 31
43 含三角函数的复合函数的奇偶性 0.0(0.0%) 32
44 等差数列的通项公式 4.0(3.7%) 14,35,43
45 含三角函数的复合函数的周期 0.0(0.0%) 32,33
46 全概率公式 0.0(0.0%) 25
47 不等关系与不等式 4.0(3.7%) 16
48 正弦定理 10.0(9.3%) 44
49 抽象函数及其应用 0.0(0.0%) 27
50 排列、组合的实际应用 0.0(0.0%) 34
51 二项展开式的通项 0.0(0.0%) 8
52 指数型复合函数的性质及应用 0.0(0.0%) 19
53 基本不等式 4.0(3.7%) 16
54 余弦定理 10.0(9.3%) 18,44
55 函数的值 0.0(0.0%) 36
56 函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质 4.0(3.7%) 26
57 分步乘法计数原理 0.0(0.0%) 34
58 等差数列的前n项和 0.0(0.0%) 35
59 复数的模 4.0(3.7%) 2,3
60 必要条件、充分条件与充要条件的判断 4.0(3.7%) 10,11
61 用样本估计总体的百分位数 0.0(0.0%) 31
62 用空间向量研究直线与平面所成的角 15.0(14.0%) 46
63 奇函数与偶函数的性质 0.0(0.0%) 33,37
64 双曲线的应用 0.0(0.0%) 29
65 二项式定理 5.0(4.7%) 41
66 函数的值域 4.0(3.7%) 11
67 圆与圆的位置关系及其判定 0.0(0.0%) 13
68 双曲线的标准方程 0.0(0.0%) 49
69 对数的性质与运算法则 4.0(3.7%) 17
70 两角和与差的正切公式 0.0(0.0%) 12
71 等差数列概念与表示 0.0(0.0%) 43
72 含三角函数的复合函数的对称性 0.0(0.0%) 32,33
73 等比中项 4.0(3.7%) 14
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