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尺规作图训练
尺规作图专题尺规作图总结
I.作一条线段等于已知线段 (I)作射线AP
(2)用圆规量已知线段长度a
(3)点A为圆心，画弧交射线AP于点B，则线段AB即为所求
2.作一个角等于已知角∠ABC 以O为圆心，任意长为半径，画弧交OA，OB于点C、D
(2)作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径，画弧，交O'A'于点C'，
(3)以点C'为圆心，CD长为半径，画弧，交于D'， (4)过D'点作射线O'B'，则∠A'O'B'即为所求
3.作一个角的角平分线 (I)以点O为圆心，任意上为半径画弧，两弧交∠AOB的两边OA、OB于点M、N。
(2)分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点C.
(3)作射线OC
4.过一点作已知直线的垂线 点O在直线上 (I)以点O为圆心，任意线段的长为半径画弧，交直线于M、N两点;
(2)以点M、N为圆心，以大于MN长为半径在直线两侧画弧，分别交交于点A、B两点;
(3)作直线AB.
点P在直线外 (I)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线于A、B两点;
(2)以点A、B为圆心，以大于AB长为半径在直线一侧画弧，交于Q点;
(3)作直线CQ.
5.作一条线段的垂直平分线 分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于C，D两点.
(2)作直线CD.
P是直线AB外一点，过点P作AB的平行线.
法一: (1)在直线AB上取一点N，过作直线NP (2)分别以点N，点P为圆心，任意长为半径画弧，交于E，F，G，Q四点 (3)取EF长度为半径，点P为圆心画弧，交弧于点Q (4)作直线PQ，直线MQ或CD就是所求直线 法二: (1)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于点M， N (2)分别以M和N为圆心，大于MN长度为半径画弧，交于点C (3)连接PC直线 (4)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线PC于X，Y点 (5)分别以X，Y为圆心，任意长为半径画弧，交直线EF于点Q (6)连接直线PQ，既PQ//AB
法三: 在AB上取点M、N，
作PQ=MN，N Q=MP 法四: 在AB上任取一点M，连接PM，
作∠PMB的角平分线，以P为圆心，PM为半径作弧与角分线，交于点Q，连接PQ.
7. 已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形 ①已知三边作三角形 原理：作3条已知线段作线段AB=c;
以A为圆心， b为半径作弧；
以B为圆心， a为半径作弧； 相交于点C，连接AC、BC
②已知两边及其夹角作三角形 原理：作已知线段+已知角
③已知两∠及其夹边作三角形 原理：作已知线段+已知角
8.已知底边及底边上的高线
作等腰三角形 原理：作已知线段+垂直平分线
9.已知一直角边和斜边作直角三角形 原理：作垂线+作已知线段
任意一条直线，在直线上截取AB=h 以A为圆心，AB为半径作弧得新线段长度为2h; 作新线段的垂直平分线(构造出直角);
以B为圆心，l为半径作弧，交垂直平分线于点C; 连接BC.
作角平分线
例题 按下列要求尺规作图，保留作图痕迹．
作的角平分线；
【分析】本题考查了基本作图，作垂直平分线，作角平分线：
根据尺规作图，以任意长度为半径，为圆心，交射线、于点、，以点、为圆心，大于的长为半径，在的内部作弧，两弧交于点，作射线，则射线即为所求；
针对性训练
（24-25八年级上·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线．
【答案】图形见解析
【分析】本题主要考查尺规作图，熟练掌握角平分线的作图步骤是解题的关键．根据角平分线的作图步骤画图即可．
【详解】解：以点为圆心任意半径画弧，交两点，以两点分别为圆心，大于两点的距离画弧交于一点，连接A点和此点的射线交边于D点，连接即可；
（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图所示在中，．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于D；
(2)在（1）中作出的图形中，计算的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题：
（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）根据角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）解：∵平分，
，
，
在中，，
，
．
（19-20七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，按下列要求作图：
（1）作角平分线AD；
（2）作的中线BE；
（3）作中AC边上的高BF．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析．
【分析】（1）利用量角器量出∠BAC的度数，再除以2，算出度数，然后画出线段AD即可；
（2）首先找出AC的中点E，然后画线段BE即可；
（3）利用直角三角板，一个直角边与AC重合，另一条直角边过点B，画线段BF即可．
【详解】（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示．
【点睛】本题考查了画三角形的高、中线、角平分线，关键是注意三角形的高、中线、角平分线都是线段．
（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，是的边上的高．
(1)利用尺规作图作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图—基本作图，以及三角形内角和定理的应用．
（1）（1）利用尺规根据要求作出图形即可；
（2）利用三角形内角和定理可得，，再结合角平分线的定义可得，即可求解．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）解：是的边上的高，
，
，
，，
，，
平分，
，
．
（22-23七年级下·山东滨州·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，．
(1)尺规作图（保留作图痕迹）：作的角平分线；
(2)在满足（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查基本作图，平行线的判定，角平分线的定义等知识，
（1）根据要求作出图形；
（2）证明，可得结论．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，平分，
，
，
．
（25-26七年级下·北京·阶段检测）作图：
(1)作三角形的三条角平分线；
(2)作三角形的三条高．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用量角器和直尺作三角形的三条角平分线；
（2）利用三角板和直尺作出三角形的三条高．
【详解】（1）解：如图，为三角形的三条角平分线；
（2）解：如图，为三角形的三条高．
（17-18七年级下·江苏泰州·期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，
（1）用直尺和圆规作出∠CAD的角平分线AE（保留作图痕迹）；
（2）若∠B=∠C，求证：AE∥BC．
【答案】(1)作图见解析；（2）证明见解析.
【详解】分析：（1）利用角平分线的性质作图得出即可；
（2）利用角平分线的性质以及平行线的判定得出即可．
详解：（1）如图所示：
（2）∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE．
∵∠B=∠C，∠B+∠C=∠CAD，∴∠CBA=∠DAE，∴AE∥BC．
点睛：本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定等知识，根据已知得出∠CBA=∠DAE是解题的关键．
（22-23七年级下·河南新乡·期末）下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
执“规”“矩”等分已知角 《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序．我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规、“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的角．要研究等分角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的角平分线呢？
办法1： 1．以点O为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N； 2．分别以M、N为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C． 射线即为的角平分线．
办法2： 1．两个“矩”如图放置，顶点重合于C，一边重合于直线； 2．以点C为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N； 3．使点M在射线上，点N在射线上，调整“矩”直至直线经过点O； 射线即为的角平分线，
办法3： 1．作，使； 2．在射线上截取，使； 3．做射线； 射线OC即为的角平分线．
经过测量，上述三种办法得到的与相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证．
任务：
(1)填空：“办法1”判断三角形全等的依据是______；
(2)请在小明的办法2和办法3中选择一种，证明其合理性．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）首先根据尺规作图得到，，然后利用即可得到；
（2）办法2证明：根据题意证明，得到即可求解；
办法3证明：根据等边对等角得到，然后根据三角形外角的性质和证明即可．
【详解】（1）根据尺规作图可得，
∴，
又∵
∴
∴“办法1”判断三角形全等的依据是；
（2）办法2证明：
根据尺规作图可得，
又∵，
∴
∴
∴射线即为的角平分线；
办法3证明：
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴射线即为的角平分线．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，尺规作角平分线，等边对等角等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，点C在的内部，且；是的角平分线．
(1)作；
(2)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹．）
(3)若射线分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线表示 方向；
(4)在图中找出与互余的角是 ；
(5)在图中找出与互补的角是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)北偏西
(4)和
(5)和
【分析】（1）由题意知，，则，过作，如图1，即为所作；
（2）作的平分线即可；
（3）由射线分别表示从点O出发的北、东两个方向，可知射线表示北偏西方向；
（4）由题意知，，由，，作答即可；
（5）由题意知，，由，作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴，
过作，如图1，即为所作；
（2）解：作的平分线，如图2，即为所作；
（3）解：∵射线分别表示从点O出发的北、东两个方向，
∴射线表示北偏西方向，
故答案为：北偏西；
（4）解：由题意知，，
∵，，
∴与互余的角是和，
故答案为：和；
（5）解：由题意知，，
∴，
∴与互补的角是和．
【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，方向角，互补和互余等知识．熟练掌握作垂线，作角平分线，方向角，互补和互余是解题的关键．
作中线、垂线和中垂线
例题1.已知：如图，在中，请用尺规作出边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】
【分析】据中线的定义，要得到边上的中线，只需要先确定边的中点，再连接点和中点即可，可通过作的垂直平分线确定的中点，
【详解】解：分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线交于点，连接 线段即为所求作的边上的中线．
例题2.如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法）
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)在上找一点，使．
【分析】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键；
（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，问题得解；
（2）按照（1）的方法作答即可；
（3）作的垂直平分线交于点，即可求解．
【详解】（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，如图，
高即为所作；
（2）如图所示：
垂线即为所作；
（3）如图，点即为所求；
例题3.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段．
小芸的作法如图：
如图：（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；
（2）作直线．
请你回答：
(1)作图第一步为什么要大于的长？
(2)小芸的作图是否正确？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)正确；理由见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据如果等于，那么只相交一点；如果小于，那么没有相交，即可得出答案；
（2）依据证明，即可得出是的对称轴，从而得解．
【详解】（1）解：如果等于，那么只相交一点；如果小于，那么没有相交，
所以作图第一步要大于的长；
（2）解：小芸的作图是正确的．
理由：由作图知：，，而是两个三角形的公共边．
∵在和中，
∴．
∴是的对称轴
∴是的垂直平分线．
针对性训练
（24-25七年级下·上海·期末）用直尺和圆规作钝角△ABC边BC上的高．
【答案】图见解析
【分析】本题考查了垂线的尺规作图，熟悉掌握垂线的作图方法是解题的关键．
根据垂直的作图方法直接作图即可．
【详解】解：如图所示即为所求：
尺规作图 ：作线段的垂直平分线．（要求：写作法，保留作图痕迹）．
解:分别以，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线，即为线段的垂直平分线．如图所示，即为所求；
（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）按要求完成尺规作图
(1)已知直线和外一点P，过点P作直线的平行线；
(2)已知直线和外一点Q，过点Q作直线的垂线；
【答案】(1)如图所示，直线为所求平行线，
(2)如图所示，直线为所求垂线，
【分析】（1）过点任意作一条直线与相交，利用同位角相等两直线平行画一个角等于已知角即可；
（2）以点为圆心，大于点到直线的距离为半径画圆，交于两点，作两点之间线段的垂直平分线即可．
【详解】（1）解：略；
（2）解：略．
（24-25七年级下·上海浦东新·期末）尺规作图：如图，直线和相交于点O，M是上的一点，
(1)过点M画出直线的垂线，垂足为点F．
(2)过点M画出直线的平行线．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可．
（2）按照作一个角等于已知角的尺规作图法，过M点作，则直线平行于直线．
本题考查了基本的尺规作图，过直线外一点作已知直线的垂线和做一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：如图，直线即为所求．
（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，点C是线段外一点．借助无刻度直尺和圆规，判断点C是否在线段的垂直平分线上．（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法．）
【答案】见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质定理，熟练掌握以上知识点是关键．
法一：如图1，以为圆心，的长为半径画弧，若弧过点，则证明点C在线段的垂直平分线上；
法二：如图2，直接利用尺规作图—作的中垂线，观察点是否在中垂线上即可．
【详解】解：如图所示，两种方法确定点C在线段的垂直平分线上．
（17-18七年级下·山东烟台·期末）如图，已知线段．
（1）作的垂直平分线；
（2）在直线上（的上方）作一点，使．要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
【答案】（1）详情见解析；（2）详情见解析
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别在AB上下两处相交，连接两处交点即可；
（2）以A点为圆心，AB长为半径画弧交l于D，则DA=AB，利用等边三角形性质即可得出，据此从而画出D点.
【详解】（1）如图所示，直线l即为所求；
（2）如图所示，点D即为所求；
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的画法以及等边三角形性质的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，已知
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于E，作的角平分线，与交于点D（保留作图痕迹，不用写作法）
(2)若，，求的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线及角平分线的作图方法作图即可；
（2）利用三角形内角和及角平分线定义，由三角形外角性质求出，根据线段垂直平分线得到，即可求出的大小．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵垂直平分线段，
∴
∴．
【点睛】此题考查了基本作图—线段垂直平分线和角平分线，角平分线的定义求角度，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（23-24七年级下·上海·期末）已知直角，．
(1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F．
(2)连接，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)等腰三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质，直角三角形性质，等腰三角形的判断和性质，是解决问题的关键．
（1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F，点E、F即为所求作；
（2）根据线段垂直平分线性质得到，得到，根据直角三角形性质得到，，得到，得到，即得是等腰三角形．
【详解】（1）分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，
作直线，分别交线段、与点E、F，
E、F 即为所求作；
（2）是等腰三角形，理由：
由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
作一个角等于已知角
例题 下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：如图，．求作：一个以O为顶点的角，使它等于．
作法：
①在射线上任取一点C，以O为圆心，为半径作，与射线交于点D；
②连接，以点C为圆心，为半径作，与交于点P；
③作射线，则即为所求．
根据上述作法，请回答：
（1）在右图中利用尺规补全图形；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）补全下面的推理过程：连接，在中
∵________（填线段的名称）
∴（_______________）（填推理的依据）
【答案】（1）见解析；（2）CD；在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等．
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据圆的对称性回答即可．
【详解】解：（1）如图，即为所求．
（2）如图，连接，在中，
∵CD，
∴（在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等），
故答案为：CD；在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等．
【点睛】本题考查了圆的对称性，熟练掌握圆的对称性定理是解决本题的关键，在同圆或等圆中，两条弦，两条弧或者两个圆心角这三组量中有一组量相等，那么所对的另外两组量也分别相等．
针对性训练
（2024七年级下·全国·专题练习）用尺规作图．如图，以点B为顶点，射线为一边，在外再作一个角，使其等于．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，以B为圆心，以任意长为半径画弧分别交于E、F，再以F为圆心，以的长为半径交圆B于点G，作射线，则即为所求．
【详解】解：如图所示，即为所求；
以B为圆心，以任意长为半径画弧分别交于E、F，再以F为圆心，以的长为半径交圆B于点G，作射线，则即为所求．
（2021·湖南长沙·一模）下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠AOB，求作：一个角∠A'O'B'，使它等于∠AOB．
作法：如图，
①作射线O'A'；
②以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
③以O'为圆心，OC为半径作弧C'E'，交O'A'于C'；
④以C'为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；
⑤过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．
请完成下列问题：
(1)该作图的依据是________（填序号）．
①ASA ②SAS ③AAS ④SSS
(2)请证明∠A'O'B'=∠AOB．
【答案】(1)④
(2)详见解析
【分析】（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是SSS，即可求解；
（2）由作法得已知：OC＝，，，从而，即可求证．
【详解】（1）解：由作法得OD＝OC＝O'D'＝O'C'，C'D'＝CD，
所以根据“SSS”可判断，
所以∠O'＝∠O．
故答案为：④；
（2）证明：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'
在△OCD和△O'C'D'中，
，
∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．
（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，小李进行了以下五个步骤，将这5个步骤按正确的顺序排列为（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①④③⑤② D．②①③④⑤
【答案】B
【分析】此题主要考查了基本作图，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的作法是解题的关键．
【详解】解：根据用尺规作一个角等于已知角的作图步骤可知正确的是：①③②⑤④．
故选：B．
（24-25七年级上·河北邢台·期中）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图所示．
（1）画射线；（第1步）
（2）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；（第2步）
（3）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（第3步）
（4）以点为圆心，长为半径画弧，交已画的弧于点；（第4步）
（5）过点作射线．（第5步）
就是所求作的角．
以上作法中，错误首先出现在（ ）
A．第1步 B．第2步 C．第3步 D．第4步
【答案】D
【分析】本题考查作图—作角等于已知角，掌握基本作图方法是解题关键．根据作一个角等于已知角的步骤解答即可．
【详解】解：由步骤可知（4）应为以点为圆心，长为半径画弧，交已画的弧于点，
故错误首先出现在第4步．
故选D．
过直线外一点作已知直线的平行线
例题.求作：P是直线AB外一点，过点P作AB的平行线.
【详解】解：
(1)在直线AB上取一点N，过作直线NP
(2)分别以点N，点P为圆心，任意长为半径画弧，交于E，F，G，Q四点
(3)取EF长度为半径，点P为圆心画弧，交弧于点Q
(4)作直线PQ，直线MQ或CD就是所求直线
针对性训练
（2018·北京·中考真题）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点．求作：，使得PQ //
作法：如图，
①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵_______，_______，
∴PQ //（____________）（填推理的依据）．
【答案】(1)作图见解析（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．
【详解】分析：根据作图过程，补全图形即可.
详解：（1）尺规作图如下图所示：
（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．
点睛：考查尺规作图，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键.
已知：如图1，直线及直线外一点．
求作：直线，使．
作法：如图2，
①在直线上取一点，连接；
②的平分线；
③P为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
④作直线．
则直线就是所求作的直线．
请你根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线和线段，平行线的判定，等腰三角形的性质；
根据尺规作角平分线和作线段的方法进行作图即可．
【详解】解：如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（24-25七年级下·广东河源·期末）在学行线的判定后，我们围绕“过直线外一点作已知直线的平行线”为主题开展探究．
方法一：用尺规作图的方法画平行线
（1）A同学用的是尺规作图，已知P是直线a外一点，按如下作图步骤可作．
A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ．
（2）B同学想出了另外一种尺规作图的方法如图所示．
B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ．
方法二：用折纸的方法画平行线
（3）已知P是外一点，按照下面折纸步骤能折出与直线平行的直线（折纸步骤如图所示）．
第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是 ，依据是： ．
第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是 ，依据是： ．
第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是 ，依据是： ．
【答案】（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）垂直，折叠的性质；垂直，折叠的性质；平行，同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
（1）根据作图，可得到，即内错角相等，两直线平行；
（2）根据作图，可得到，即同位角相等，两直线平行；
（3）根据折叠，可得到根据折叠的性质，折痕垂直于两点的连线，利用同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，可得到结果．
【详解】（1）A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：内错角相等，两直线平行，
故答案为：内错角相等，两直线平行；
（2）B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（3）第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是垂直，依据是：折叠的性质，
第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是垂直，依据是：折叠的性质，
第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是平行，依据是：同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，
故答案为：垂直，折叠的性质；垂直，折叠的性质；平行，同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
（21-22七年级下·北京东城·期末）下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程．
已知：点在直线上，点在直线外，且．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①在线段的延长线上任取一点；
②以为顶点，为一边，通过量角器度量，在右侧作；
③将射线反向延长．
直线就是所求作的直线．
根据小红的作图过程，解决以下问题：
(1)补全图形，并完成证明过程；
证明：∵，，
∴．
∴（____________）（填推理的依据）．
(2)在（1）的条件下，过点作的垂线，交直线于点．求的度数．
【答案】(1)图见详解；同位角相等，两直线平行
(2)
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可得到答案；
（2）根据平角为求出，再根据两直线平行，同位角相等得出．
【详解】（1）证明：如下图所示
∵，，
∴，
∴（_同位角相等，两直线平行_）;
（2）如下图所示，作交DC于点F，
∵，
∴，
∵，
∵，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，同位角相等．
作已知角的和、差、倍角
例题 .如图，已知，请用尺规作，使．
【分析】本题考查的是基本作图：作一个角等于已知角，分别作出即可
【详解】解：以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交于点M，N，再以点E为圆心，以的长为半径画圆，交于点Ｆ，以的长为半径，以点Ｆ为圆心画圆，两圆相交于点Ｇ，作射线即可得出．同理，在外侧可作，从而可得出．
针对性训练
（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，利用尺规作图作一个角，使它等于已知角的2倍．
（2）已知，利用尺规作图作一个角，使它等于．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查作图－基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
（1）根据作一个角等于已知角的方法，作出图形即可；
（2）以点M为圆心，一定长度为半径画弧，交于点G，以点G为圆心，为半径画弧，交原来的弧于点E，连接，则，再作的角平分线，则即为所求．
【详解】解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．
根据作图可知：为等边三角形，
∴，
∵平分，
∴．
（21-22七年级下·福建三明·期中）作图题，如图，已知∠A，∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】先作∠EOC=∠A，再作∠DOC=∠B，则∠DOE为所作．
【详解】解：如图，∠DOE为所作．
．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，解题的关键是根据角的和差关系，作出有公共边的两个角，继而得到结果．
【详解】解：如图，．
46．（19-20六年级下·上海静安·单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）
【答案】见解析
【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．
【详解】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N；
作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求．
【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．
（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．

求作：，使．
要求：保留画图痕迹，不写画法．
画图：
【答案】见解析
【分析】先作，在这个角的外部分别作，然后作，则．
【详解】如图所示，即为所求．

【点睛】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键．
（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，已知和，利用尺规作（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】图见详解
【分析】本题主要考查角的尺规作图，熟练掌握角的尺规作图是解题的关键；作射线，再作，以为一边，在的外部作，就是所求作的角．
【详解】解：所作图形如图所示：
（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知，，请用尺规作图法求作，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据题意，作直线，先作出，在的左侧作，则，即为所求作的角．
【详解】解：如图，即为所求作的角．
（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，利用无刻度的直尺和圆规作图（不要求写作法）．
(1)求作：的补角；
(2)求作：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了利用尺规作角的和差，熟练掌握尺规作图法是解题的关键．
（1）延长到，即为所求；
（2）在的左侧作，即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
作三角形全等于已知三角形
例题 . 如图，．用直尺和圆规作，使得．（要求：保留作图痕迹）

【分析】本题主要考查了作一个三角形的全等三角形，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
【详解】解：如图所示，
作直线l，并截取EF使得EF=BC，再以点E为圆心，BA长为半径，画弧，再以F为圆心，AC长为半径画弧，交于D、F两点，则就是所求作的三角形．
针对性训练
（18-19七年级下·福建三明·阶段检测）作图题：已知，选择适当的方法，求作，使．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析
【分析】作射线，在射线上截取线段，以点E为圆心，为半径画弧，以点F为圆心，为半径画弧，两弧相交于点D，连接、，根据，则．
【详解】解：如图，即为所求三角形，

【点睛】此题考查了三角形的作图和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点D在边上．求作，使，并满足点E在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】在的上方作，在射线上截取线段，使得，在射线上截取线段，使得，连接，即为所求．
【详解】解：如图，即为所求．
（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作，使．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】先作，再截取，再作，记另外一边的交点为D，从而可得答案．
【详解】解：如图，即为所求．

【点睛】本题考查的是作三角形，熟练的利用两角与两角的夹边作三角形是解本题的关键．
（17-18七年级下·全国·课后作业）尺规作图:如图，小明在作业本上画的△ABC被墨迹污染，他想画一个与原来完全一样的△A'B'C'，请帮助小明想办法用尺规作图法画出△A'B'C'(不写作法，保留作图痕迹)，并说明你的理由．
【答案】见解析
【分析】先用圆规作出B'C'，使得B'C'=BC，然后再作∠B'=∠B和∠C'=∠C，两个角边延长线的交点即为A'.
【详解】作出△A'B'C'如图所示．在△ABC和△A'B'C'中，
∠B=∠B'，BC=B'C'，∠C=∠C'，
所以△ABC≌△A'B'C'．
【点睛】本题考查尺规作图，解题关键是用尺规作出∠B'=∠B和∠C'=∠C.
（18-19八年级上·河北石家庄·期中）尺规作图：如图，已知△ABC，求作△ADE≌△ABC，使所作的△ADE和△ABC有一个公共的顶点A，且DE∥BC．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】延长CA到M，在射线AM上截取AE＝AC，延长BA到N，在射线AN上截取AD＝AB，连接DE，△ADE即为所求．
【详解】如图，△ADE即为所求．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
作已知角、边的三角形
例题1.已知：线段，，（如图）．
求作：，使，，．
【分析】画射线，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交的两边于点，；以相同长度为半径，B为圆心画弧，交于点F，以F为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，作射线；以B为圆心，a为半径画弧交射线于点C，以B为圆心，c为半径画弧交射线于点A，连接即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
例题2.已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，．
【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
先作出的余角，再作，在上截取，以B为顶点，为一边作，则即为所作．
【详解】解：如图：即为所作．
例题3（24-25七年级上·山东青岛·期中）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，在中，；
求作：，使，．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作三角形；根据题意作，．连接，即可求解．
【详解】解：如图所示，即为所求
针对性训练
尺规作图（不写作法，保留痕迹）；
已知：线段，
求作：，使得．

【答案】见解析
【分析】利用已知角作出，进而利用得出．
【详解】解：作出边，
作出，
作出边，
连接，
为所求三角形．
【点睛】本题考查的是复杂作图，作三角形，同时考查的是全等三角形的判定与性质，理解作图的依据是解本题的关键．
（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直角和线段，，用尺规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于，．
【答案】解：如图，就是所求作的直角三角形．
【分析】在射线上截取，使得，在射线上 截取，使得，连接，即为所求．
【详解】略
（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得，．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，先作射线，再以点A为圆心，线段的长为半径画弧交射线于D，接着以点D为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于B，再接着作，最后以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，连接，则即为所求．
【详解】解：如图所示，即为所求．
（24-25七年级下·福建福州·期末）尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．
已知：，线段．
求作：，使得，，．（保留作图痕迹，不要求写作法．）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形的尺规作图，先作射线，在射线上截取，作，作，交于点C，则即为所求．
【详解】解：如图所示，即为所求；
（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高．
【答案】见解析
【分析】作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，即可得出结果．
【详解】解：作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，则即为所求
（24-25七年级下·上海·期末）用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图的基本技能，特别是利用垂直平分线和圆弧截取特定长度的方法构造直角三角形．解题的关键是通过作垂线确定直角，并利用圆规精确截取2单位和4单位长度，最终连接斜边完成三角形．
【详解】如图，任画一条直线，在线上取点B，以B为圆心画弧交直线于两点；
分别以为圆心，大于的等长半径画弧，交于点F；
连接，得直角（依据线段垂直平分线性质）．
在上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取4单位长度画弧交于C，则边的长为4倍的单位长度；
在直线上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取2单位长度画弧交于A，则边的长为2倍的单位长度：
最后用直尺连接两点．
则直角三角形就是所作的三角形．
（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，已知和线段a．
(1)求作，使（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在第（1）题所作的中，画出的边上的高．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，尺规作线段等于已知线段，尺规作线段的垂直平分线，
对于（1），作射线，以点F为圆心，为半径画弧，再以点A为圆心，为半径画弧，再以点G为圆心，为半径画弧，两弧交于点H，作射线，然后在射线上截取，同理作，交于点C，可知即为所求作的三角形；
对于（2），以点A为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点I，J，再以点I，J为圆心，以为半径画弧，两弧交于点L，作射线，交的延长线于点D，则即为所求作．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形；
（2）解：如图所示，即为所求作．
8（24-25七年级下·上海·期中）已知：线段，，．
(1)用尺规作出，使，，（保留作图痕迹）；
(2)画出边上的中线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图—作三角形，作垂线．熟练掌握尺规作线段和垂直平分线，尺规作角的方法，是解题的关键．
（1）根据尺规作线段，尺规作角的方法画出即可；
（2）作的垂直平分线，交于点D，连接即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图，为所求作的三角形边上的中线．
最短路径问题
例题 1.综合与实践
【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．
【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题．
【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短．
【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【评价反思】
（3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）图见解析，整个过程所行的路程为．
【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段．
（1）直接连接交直线l于点C即可；
（2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可；
（3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解．
【详解】解：（1）如图，点C即为所求；
（2）如图，点C即为所求；
（3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径．
由题意，得，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
∴，
∴整个过程所行的路程为．
例题 2.作图题：
如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点．
(1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)请写出你的作图依据：
①________；
②________．
【答案】(1)见详解
(2)①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等．
【分析】本题考查作角平分线和垂直平分线，以及角平分线和垂直平分线的性质；
（1）作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即点G；
（2）根据角平分线和垂直平分线的性质作答即可．
【详解】（1）解：如图，点G即为所求，
解：作图依据①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等
例题 3.按照下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短；
(2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小；
(3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）
(4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题主要考查了轴对称性质、最短路径问题；
（1）作点关于的对称点，连接，交与点，则点即为所求；
（2）点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小．
（3）过作河的垂线，要使最短，直线，，连接即可得出，作出即可．
（4）过作使得，作点关于的对称点，连接与的交点即为，过作交为，点，即为所求．
【详解】（1）解：点位置如图①②所示．（任选一种即可）
（2）如图③所示，点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小．
（3）如图④，即为所求的桥．
根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b），
只要最短就行，
即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥．
（4）解：过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求．点，的位置如图⑤所示．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点C关于l的对称点D，
∴，，
∴，，
∵为定值，
∴要求的最小值，只需求，
∴点B、F、D共线时，最小．
针对性训练
笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场．
(1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由．
(2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由．
【答案】(1)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析
(2)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析
【分析】（1）连接交河岸于点，点为所选的位置；（2）作点关于直线的对称点，连接交河岸于点，点为所选的位置。
【详解】（1）解：如图，连接交河岸于点，点即为所求；
理由：两点之间线段最短，所以点为所选的位置。
答：当点选在线段与河岸的交点时，此时运输总路程最短。
（2）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所求。
理由：点与点关于直线对称，
.
.
即：.
由两点之间线段最短，
点M为所选择的位置。
答：选在线段与河岸的交点时，运输总路程最短。
【点睛】本题考查了两点之间线段最短求点的位置，掌握对称点作法及轴对称性质与两点之间线段最短是解题的关键。
（23-24八年级上·广西崇左·阶段检测）如图， 已知直线， ， ， 三点， ， 两点在直线的异侧， 请按下列要求作图． (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(1)在直线上求作一点 ，使到，两点距离之和最短；
(2)在直线上求作一点 ， 使 ；
(3)求作一点，使点到，，三点距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接交于点，则点即为所求；
（2）作的垂直平分线，交于点，则点即为所求；
（3）作的垂直平分线，交的垂直平分线于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流．
(1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）．
(2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据平移的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接，
由轴对称的性质得，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，
∴如图所示，点的位置即为所求；
（2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为，
将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2：
则，
由平移的性质得，，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小，
∴如图所示，点的位置即为所求．
-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店．
(1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小；
(2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查两点之间线段最短、垂线段最短：
（1）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点M，此时的值最小；
（2）根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，只需作于点N即可；
【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求：
（2）解：如图所示．
（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．由题意分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求．
【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点．
（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知两个小区和两条公路，（点，表示小区，，表示公路），现计划在内建造一所超市，希望这所超市到这两个小区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，你能确定一下超市的位置吗？请在所给的图中标出超市所在的位置，保留作图痕迹．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线、作垂直平分线，掌握角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键．连接，作的垂直平分线，作的平分线，与两直线的交点即为超市所在的位置．
【详解】解：如图所示，点即为所求超市的位置．
（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）作图
(1)如图（1），某地有两所大学，求作一娱乐场所在直线，使其到两所大学的距离相等．（要求保留作图痕迹）
(2)如图（2），求作的平分线．（要求保留作图痕迹）
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】该题考查了尺规作图-角平分线、线段垂直平分线，以及线段垂直平分线的性质．
（1）作的垂直平分线即可．
（2）根据尺规作角平分线的方法解答即可．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：如图，直线即为所求．
．
（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
(1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法；
(2)最短，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接，此时最短；
（2）另任意作桥，连接，，，由平移的性质可得，，，故转化为，而转化为，再结合在中，，即可得解．
【详解】（1）解：如图所示：平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接即可，
；
（2）解：如图，另任意作桥，连接，，，
，
由平移的性质可得：，，，
故转化为，
而转化为，
在中，，
∴，
故最短．
（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，平面上有A，B，C，D四个点．根据下列语句画图（保留画图痕迹，不写画法）：
(1)画线段AB．
(2)连接CD，并将其反向延长至点E，使得．
(3)在平面内找到一点F，使点F到A，B，C，D四点距离之和最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接即可．
（2）根据要求画出点即可．
（3）连接，交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求．
（2）解：如图所示，．
（3）解：如图所示，点即为所求．
【点睛】本题考查线段，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（25
（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面上有四个点，，，，按要求完成下列作图．
(1)作射线．
(2)连接并延长，与射线交于点．
(3)在平面内找一点，使得的值最小．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据射线的定义作图即可．
（2）根据线段的定义按要求画图即可．
（3）连接，相交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）如图，连接，相交于点，则点即为所求．
其他
（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作的平分线交的垂直平分线于点P，连接即可．
【详解】解：如图，点P即为所求，
∵平分，，
∴，
∵点P在的垂直平分线上，
∴，
∴．
如图，已知线段AB和射线AC.
(1)在图1中，在射线AC上求作一点D，使DA=DB;
(2)在图2中，在射线AC上求作一点E，使∠EBA=2∠BAC.
（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法）
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)在上找一点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键；
（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，问题得解；
（2）按照（1）的方法作答即可；
（3）作的垂直平分线交于点，即可求解．
【详解】（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，如图，
高即为所作；
（2）如图所示：
垂线即为所作；
（3）如图，点即为所求；
（18-19七年级下·上海·阶段检测）画图题：
（1）画△ABC，使BC=5cm，∠B=45°，∠C=60°；
（2）画出（1）中△ABC的角平分线AD（尺规作图，保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）用尺规画△ABC即可；
（2）根据用尺规作角平分线的方法即可得△ABC的角平分线AD.
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）按要求作图：
(1)尺规作图，在边上找一点N，使得．（保留作图痕迹）
(2)在边上找到点D，使得平分；（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查作图—复杂作图，解题的关键是熟练掌握基本几何图形的性质，结合几何图形的性质把复杂的作图拆解成基本作图，
（1）作线段的垂直平分线，交于点N，根据线段垂直平分线的性质得到，则；
（2）延长至格点E，使，连接，取的中点F，连接交于点D；
【详解】（1）解：如图，点N即为所求；
（2）解：如图，点D即为所求；
（2025·河南周口·二模）如图，在中，D为边上一点，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若（1）中所作的角平分线交于E，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查无刻度直尺作图，等腰三角形的判定；
（1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可；
（2）根据，得到，根据等角对等边得到．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）证明：由题意得，，，
，
，
．
（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，用直尺和圆规过点作的高线、中线，过点做的角平分线．
【答案】作图见解析
【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，作角平分线，
先以点A为圆心，以为半径画弧，交于点H，再分别以点B，H为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交于点D；然后以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点H，I，作直线交于点E，连接；接下来以点B为圆心，以为半径画弧，交于点K，再以点J，K为圆心，以为半径画弧，两弧交于点L，作射线交于点F，则即为所求作．
【详解】解：如图所示，即为所求作；
（23-24八年级下·江西九江·期中）已知：如图，求作：一点，使在上，且点到的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，点到的两边的距离相等则点P在的角平分线上，据此作图即可．
【详解】解：如图所示，作的角平分线交于P，点P即为所求．
（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，已知长方形，点在线段上，将沿直线翻折后，点落在线段上的点．
(1)用圆规和直尺画出（保留作图痕迹）；
(2)如果的周长为，的周长为，用含有的代数式表示的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作线段以及作线段的垂直平分线，折叠的性质，
（1）作交于点，再作的垂线交于点，连接，即可求解；
（2）根据折叠的性质可得，，根据已知表示出，，根据长方形的对边相等，列出等量关系，化简后即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：∵将沿直线翻折后，点落在线段上的点，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知中，，根据下列要求作图并回答问题：
(1)定义：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心．尺规作图：请画出的外心点；（不要求写画法和结论，保留作图痕迹）
(2)在（1）的图形中，边的垂直平分线交边于点，连接.如果平分，那么的度数为________；
(3)在（2）的图形中，在边上求作一点，使点到点和点的距离和最短．（不要求写画法和结论，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）作出线段的垂直平分线交于，点即为所求；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角结合角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理计算即可得解；
（3）以为圆心，为半径画弧交于，连接交于，点即为所求．
【详解】（1）解：如图，点即为所求，
，
证明：由作图可得：垂直平分，，
∴，即点是的外心；
（2）解：如图：
，
由作图可得：垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，以为圆心，为半径画弧交于，连接交于，点即为所求，
由作图可得、关于直线对称，
∴，
∴由两点之间，线段最短可得，，此时点到点和点的距离和最短．
【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上．
(1)如图，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数；
(2)在图中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，无需说明作图步骤）
【答案】(1)的度数为；
(2)见解析．
【分析】（）由，则，，又沿着直线翻折得，点的对应点为点，所以，然后通过角度和差即可求解；
（）根据作一个角等于已知角的方法作出，交于点，则即为所求．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵沿着直线翻折得，点的对应点为点，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）解：如图，即为所求．
（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
(1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可）
(2)过点画直线的垂线，垂足为；
（不要求写画法，只需写出结论即可）
(3)点到直线的距离是线段_________的长度．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）延长，以为半径，点C为圆心作圆弧交直线于点G，再分别以A、G为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点F，连接，交于点D，问题得解；
（2）按照（1）的方法作答即可；
（3）根据点到直线的距离的定义作答即可．
【详解】（1）解：边上的高如图所示：
（2）解：过点画直线的垂线，垂足为，如图所示：
（3）解：根据作图有：，
∴点B到直线的距离是线段的长度，
(25-26七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形．（保留作图痕迹，写出结论）
【答案】作图见解析
【分析】分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，由“”易证，可知四边形为轴对称四边形，故即为所求．
【详解】解：如图所示，即为所求．尺规作图训练尺规作图总结
I.作一条线段等于已知线段 (I)作射线AP
(2)用圆规量已知线段长度a
(3)点A为圆心，画弧交射线AP于点B，则线段AB即为所求
2.作一个角等于已知角∠ABC 以O为圆心，任意长为半径，画弧交OA，OB于点C、D
(2)作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径，画弧，交O'A'于点C'，
(3)以点C'为圆心，CD长为半径，画弧，交于D'， (4)过D'点作射线O'B'，则∠A'O'B'即为所求
3.作一个角的角平分线 (I)以点O为圆心，任意上为半径画弧，两弧交∠AOB的两边OA、OB于点M、N。
(2)分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点C.
(3)作射线OC
4.过一点作已知直线的垂线 点O在直线上 (I)以点O为圆心，任意线段的长为半径画弧，交直线于M、N两点;
(2)以点M、N为圆心，以大于MN长为半径在直线两侧画弧，分别交交于点A、B两点;
(3)作直线AB.
点P在直线外 (I)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线于A、B两点;
(2)以点A、B为圆心，以大于AB长为半径在直线一侧画弧，交于Q点;
(3)作直线CQ.
5.作一条线段的垂直平分线 分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于C，D两点.
(2)作直线CD.
P是直线AB外一点，过点P作AB的平行线.
法一: (1)在直线AB上取一点N，过作直线NP (2)分别以点N，点P为圆心，任意长为半径画弧，交于E，F，G，Q四点 (3)取EF长度为半径，点P为圆心画弧，交弧于点Q (4)作直线PQ，直线MQ或CD就是所求直线 法二: (1)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于点M， N (2)分别以M和N为圆心，大于MN长度为半径画弧，交于点C (3)连接PC直线 (4)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线PC于X，Y点 (5)分别以X，Y为圆心，任意长为半径画弧，交直线EF于点Q (6)连接直线PQ，既PQ//AB
法三: 在AB上取点M、N，
作PQ=MN，N Q=MP 法四: 在AB上任取一点M，连接PM，
作∠PMB的角平分线，以P为圆心，PM为半径作弧与角分线，交于点Q，连接PQ.
7. 已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形 ①已知三边作三角形 原理：作3条已知线段作线段AB=c;
以A为圆心， b为半径作弧；
以B为圆心， a为半径作弧； 相交于点C，连接AC、BC
②已知两边及其夹角作三角形 原理：作已知线段+已知角
③已知两∠及其夹边作三角形 原理：作已知线段+已知角
8.已知底边及底边上的高线
作等腰三角形 原理：作已知线段+垂直平分线
9.已知一直角边和斜边作直角三角形 原理：作垂线+作已知线段
任意一条直线，在直线上截取AB=h 以A为圆心，AB为半径作弧得新线段长度为2h; 作新线段的垂直平分线(构造出直角);
以B为圆心，l为半径作弧，交垂直平分线于点C; 连接BC.
作角平分线
例题 按下列要求尺规作图，保留作图痕迹．
作的角平分线；
【分析】本题考查了基本作图，作垂直平分线，作角平分线：
根据尺规作图，以任意长度为半径，为圆心，交射线、于点、，以点、为圆心，大于的长为半径，在的内部作弧，两弧交于点，作射线，则射线即为所求；
针对性训练
（24-25八年级上·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线．
（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图所示在中，．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于D；
(2)在（1）中作出的图形中，计算的度数．
（19-20七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，按下列要求作图：
（1）作角平分线AD；
（2）作的中线BE；
（3）作中AC边上的高BF．
（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，是的边上的高．
(1)利用尺规作图作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求的度数．
（22-23七年级下·山东滨州·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，．
(1)尺规作图（保留作图痕迹）：作的角平分线；
(2)在满足（1）的条件下，求证：．
（25-26七年级下·北京·阶段检测）作图：
(1)作三角形的三条角平分线；
(2)作三角形的三条高．
（17-18七年级下·江苏泰州·期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，
（1）用直尺和圆规作出∠CAD的角平分线AE（保留作图痕迹）；
（2）若∠B=∠C，求证：AE∥BC．
（22-23七年级下·河南新乡·期末）下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
执“规”“矩”等分已知角 《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序．我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规、“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的角．要研究等分角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的角平分线呢？
办法1： 1．以点O为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N； 2．分别以M、N为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．射线即为的角平分线．
办法2： 1．两个“矩”如图放置，顶点重合于C，一边重合于直线； 2．以点C为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N； 3．使点M在射线上，点N在射线上，调整“矩”直至直线经过点O；射线即为的角平分线，
办法3： 1．作，使； 2．在射线上截取，使； 3．做射线；射线OC即为的角平分线．
经过测量，上述三种办法得到的与相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证．
任务：
(1)填空：“办法1”判断三角形全等的依据是______；
(2)请在小明的办法2和办法3中选择一种，证明其合理性．
（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，点C在的内部，且；是的角平分线．
(1)作；
(2)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹．）
(3)若射线分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线表示 方向；
(4)在图中找出与互余的角是 ；
(5)在图中找出与互补的角是 ．
作中线、垂线和中垂线
例题1.已知：如图，在中，请用尺规作出边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹）
例题2.如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法）
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)在上找一点，使．
例题3.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段．
小芸的作法如图：
如图：（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；
（2）作直线．
请你回答：
(1)作图第一步为什么要大于的长？
(2)小芸的作图是否正确？请说明理由．
针对性训练
（24-25七年级下·上海·期末）用直尺和圆规作钝角△ABC边BC上的高．
尺规作图 ：作线段的垂直平分线．（要求：写作法，保留作图痕迹）．
（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）按要求完成尺规作图
(1)已知直线和外一点P，过点P作直线的平行线；
(2)已知直线和外一点Q，过点Q作直线的垂线；
（24-25七年级下·上海浦东新·期末）尺规作图：如图，直线和相交于点O，M是上的一点，
(1)过点M画出直线的垂线，垂足为点F．
(2)过点M画出直线的平行线．
（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，点C是线段外一点．借助无刻度直尺和圆规，判断点C是否在线段的垂直平分线上．（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法．）
（17-18七年级下·山东烟台·期末）如图，已知线段．
（1）作的垂直平分线；
（2）在直线上（的上方）作一点，使．要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，已知
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于E，作的角平分线，与交于点D（保留作图痕迹，不用写作法）
(2)若，，求的大小．
（23-24七年级下·上海·期末）已知直角，．
(1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F．
(2)连接，判断的形状并说明理由．
作一个角等于已知角
例题 下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：如图，．求作：一个以O为顶点的角，使它等于．
作法：
①在射线上任取一点C，以O为圆心，为半径作，与射线交于点D；
②连接，以点C为圆心，为半径作，与交于点P；
③作射线，则即为所求．
根据上述作法，请回答：
（1）在右图中利用尺规补全图形；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）补全下面的推理过程：连接，在中
∵________（填线段的名称）
∴（_______________）（填推理的依据）
针对性训练
（2024七年级下·全国·专题练习）用尺规作图．如图，以点B为顶点，射线为一边，在外再作一个角，使其等于．
（2021·湖南长沙·一模）下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠AOB，求作：一个角∠A'O'B'，使它等于∠AOB．
作法：如图，
①作射线O'A'；
②以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
③以O'为圆心，OC为半径作弧C'E'，交O'A'于C'；
④以C'为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；
⑤过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．
请完成下列问题：
(1)该作图的依据是________（填序号）．
①ASA ②SAS ③AAS ④SSS
(2)请证明∠A'O'B'=∠AOB．
（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，小李进行了以下五个步骤，将这5个步骤按正确的顺序排列为（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①④③⑤② D．②①③④⑤
（24-25七年级上·河北邢台·期中）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图所示．
（1）画射线；（第1步）
（2）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；（第2步）
（3）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（第3步）
（4）以点为圆心，长为半径画弧，交已画的弧于点；（第4步）
（5）过点作射线．（第5步）
就是所求作的角．
以上作法中，错误首先出现在（ ）
第1步 B．第2步 C．第3步 D．第4步
过直线外一点作已知直线的平行线
例题.求作：P是直线AB外一点，过点P作AB的平行线.
针对性训练
（2018·北京·中考真题）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点．求作：，使得PQ //
作法：如图，
①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵_______，_______，
∴PQ //（____________）（填推理的依据）．
已知：如图1，直线及直线外一点．
求作：直线，使．
作法：如图2，
①在直线上取一点，连接；
②的平分线；
③P为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
④作直线．
则直线就是所求作的直线．
请你根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．
（24-25七年级下·广东河源·期末）在学行线的判定后，我们围绕“过直线外一点作已知直线的平行线”为主题开展探究．
方法一：用尺规作图的方法画平行线
（1）A同学用的是尺规作图，已知P是直线a外一点，按如下作图步骤可作．
A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ．
（2）B同学想出了另外一种尺规作图的方法如图所示．
B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ．
方法二：用折纸的方法画平行线
（3）已知P是外一点，按照下面折纸步骤能折出与直线平行的直线（折纸步骤如图所示）．
第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是 ，依据是： ．
第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是 ，依据是： ．
第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是 ，依据是： ．
（21-22七年级下·北京东城·期末）下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程．
已知：点在直线上，点在直线外，且．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①在线段的延长线上任取一点；
②以为顶点，为一边，通过量角器度量，在右侧作；
③将射线反向延长．
直线就是所求作的直线．
根据小红的作图过程，解决以下问题：
(1)补全图形，并完成证明过程；
证明：∵，，
∴．
∴（____________）（填推理的依据）．
(2)在（1）的条件下，过点作的垂线，交直线于点．求的度数．
作已知角的和、差、倍角
例题 .如图，已知，请用尺规作，使．
针对性训练
（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，利用尺规作图作一个角，使它等于已知角的2倍．
（2）已知，利用尺规作图作一个角，使它等于．
（21-22七年级下·福建三明·期中）作图题，如图，已知∠A，∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹）
46．（19-20六年级下·上海静安·单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）
（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．

求作：，使．
要求：保留画图痕迹，不写画法．
画图：
（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，已知和，利用尺规作（不写作法，保留作图痕迹）
（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知，，请用尺规作图法求作，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，利用无刻度的直尺和圆规作图（不要求写作法）．
(1)求作：的补角；
(2)求作：．
作三角形全等于已知三角形
例题 . 如图，．用直尺和圆规作，使得．（要求：保留作图痕迹）

针对性训练
（18-19七年级下·福建三明·阶段检测）作图题：已知，选择适当的方法，求作，使．（不写作法，保留作图痕迹）

（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点D在边上．求作，使，并满足点E在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作，使．（不写作法，保留作图痕迹）
（17-18七年级下·全国·课后作业）尺规作图:如图，小明在作业本上画的△ABC被墨迹污染，他想画一个与原来完全一样的△A'B'C'，请帮助小明想办法用尺规作图法画出△A'B'C'(不写作法，保留作图痕迹)，并说明你的理由．
（18-19八年级上·河北石家庄·期中）尺规作图：如图，已知△ABC，求作△ADE≌△ABC，使所作的△ADE和△ABC有一个公共的顶点A，且DE∥BC．（保留作图痕迹，不写作法）
作已知角、边的三角形
例题1.已知：线段，，（如图）．
求作：，使，，．
例题2.已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，．
例题3（24-25七年级上·山东青岛·期中）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，在中，；
求作：，使，．
针对性训练
尺规作图（不写作法，保留痕迹）；
已知：线段，
求作：，使得．

（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直角和线段，，用尺规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于，．
（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得，．（保留作图痕迹，不写作法）
（24-25七年级下·福建福州·期末）尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．
已知：，线段．
求作：，使得，，．（保留作图痕迹，不要求写作法．）
（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高．
（24-25七年级下·上海·期末）用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度．
（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，已知和线段a．
(1)求作，使（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在第（1）题所作的中，画出的边上的高．
8（24-25七年级下·上海·期中）已知：线段，，．
(1)用尺规作出，使，，（保留作图痕迹）；
(2)画出边上的中线．
最短路径问题
例题 1.综合与实践
【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．
【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题．
【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短．
【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【评价反思】
（3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
例题 2.作图题：
如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点．
(1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)请写出你的作图依据：
①________；
②________．
例题 3.按照下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短；
(2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小；
(3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）
(4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置．
针对性训练
笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场．
(1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由．
(2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由．
（23-24八年级上·广西崇左·阶段检测）如图， 已知直线， ， ， 三点， ， 两点在直线的异侧， 请按下列要求作图． (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(1)在直线上求作一点 ，使到，两点距离之和最短；
(2)在直线上求作一点 ， 使 ；
(3)求作一点，使点到，，三点距离相等．
（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流．
(1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）．
(2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）．
-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店．
(1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小；
(2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）．
（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法）
（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知两个小区和两条公路，（点，表示小区，，表示公路），现计划在内建造一所超市，希望这所超市到这两个小区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，你能确定一下超市的位置吗？请在所给的图中标出超市所在的位置，保留作图痕迹．
（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）作图
(1)如图（1），某地有两所大学，求作一娱乐场所在直线，使其到两所大学的距离相等．（要求保留作图痕迹）
(2)如图（2），求作的平分线．（要求保留作图痕迹）
．
（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
(1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法；
(2)最短，说明理由．
（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，平面上有A，B，C，D四个点．根据下列语句画图（保留画图痕迹，不写画法）：
(1)画线段AB．
(2)连接CD，并将其反向延长至点E，使得．
(3)在平面内找到一点F，使点F到A，B，C，D四点距离之和最短．
（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面上有四个点，，，，按要求完成下列作图．
(1)作射线．
(2)连接并延长，与射线交于点．
(3)在平面内找一点，使得的值最小．
其他
（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法）
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)在上找一点，使．
（18-19七年级下·上海·阶段检测）画图题：
（1）画△ABC，使BC=5cm，∠B=45°，∠C=60°；
（2）画出（1）中△ABC的角平分线AD（尺规作图，保留作图痕迹）
（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）按要求作图：
(1)尺规作图，在边上找一点N，使得．（保留作图痕迹）
(2)在边上找到点D，使得平分；（保留作图痕迹）
（2025·河南周口·二模）如图，在中，D为边上一点，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若（1）中所作的角平分线交于E，求证：．
（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，用直尺和圆规过点作的高线、中线，过点做的角平分线．
（23-24八年级下·江西九江·期中）已知：如图，求作：一点，使在上，且点到的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不要求写作法）
（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，已知长方形，点在线段上，将沿直线翻折后，点落在线段上的点．
(1)用圆规和直尺画出（保留作图痕迹）；
(2)如果的周长为，的周长为，用含有的代数式表示的长度．
（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知中，，根据下列要求作图并回答问题：
(1)定义：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心．尺规作图：请画出的外心点；（不要求写画法和结论，保留作图痕迹）
(2)在（1）的图形中，边的垂直平分线交边于点，连接.如果平分，那么的度数为________；
(3)在（2）的图形中，在边上求作一点，使点到点和点的距离和最短．（不要求写画法和结论，保留作图痕迹）
（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上．
(1)如图，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数；
(2)在图中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，无需说明作图步骤）
（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
(1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可）
(2)过点画直线的垂线，垂足为；
（不要求写画法，只需写出结论即可）
(3)点到直线的距离是线段_________的长度．
(25-26七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形．（保留作图痕迹，写出结论）

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