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2025-2026学年-人教版八年级下册数学期末专练
1．绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张元，学生票每张元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案：购买一张成人票赠送一张学生票；方案：按总价的付款，某校有名老师与若干名不少于人学生听音乐会．
(1)设学生人数为人，付款总金额为元，分别建立两种优惠方案中与的函数关系式；
(2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．
2．（1）已知，求的值．
（2），．求值：．
3．先化简再求值：，其中．
4．计算：
(1)
(2)解方程组：
5．先化简，再求值：，其中．
6．计算
(1)；
(2)．
7．如图，在中，，点D在边上．

(1)求作：点E，使四边形是平行四边形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)以（1）中的边为斜边作等腰直角三角形，若点F在射线的延长线上，求证：．
8．在日常生活中，图形的面积等分问题常常蕴含着丰富的数学原理与构造方法，如分蛋糕、规划土地等场景都与这类问题密切相关．下面我们通过探究，感受面积等分中的数学严谨性与构造之美．
【基础探究】
(1)如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上．
①用无刻度的直尺，过点画一条直线，使直线将分成面积相等的两部分；
②若在此网格内找一个格点（不与点重合），使得的面积和的面积相等，则符合条件的格点有__________个．
【迁移应用】
受到上述探究的启发，小明同学思考：在任意三角形中，能否过边上任意一点作一条直线平分三角形的面积呢？
(2)如图2，在任意中，点是边上一点，．请用圆规和无刻度的直尺，过点作一条直线，使直线将分成面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹）
【创新应用】
(3)某社区有一块四边形空地（如图3），现计划要从边上一点出发修建一条笔直的小路（看作线段）交于点，使得小路将这块空地分为面积相等的两部分，分别用于种植两种不同的绿植．
①请在图中画出小路的示意图（不需要尺规作图），并适当说明步骤：
②若上述四边形满足，，，，，点仍是边上一点，且小路将四边形分为面积相等的两部分，小路交于点，连接，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长．
9．尺规作图：如图，在中，．作菱形，使得在上，在上，在上；（不写作法，保留痕迹）
10．如图，在中，．

(1)尺规作图：在上截取，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，求证：平分．
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，作∠DAB的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想与证明：试猜想DC与BE有怎样的数量关系，并说明理由．
12．新定义：在直角三角形中，过锐角顶点剪一刀，若剪痕将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条剪痕为直角三角形的“斜腰线”．
(1)如图1，在中，，请画出的“斜腰线”，并标出被斜腰线分得的两角的度数．
(2)如图2，在中，，分别是 和的“斜腰线”，若，，求的长．
13．2025年，“人形机器人”“”等彰显中国科技实力的人工智能迅速席卷全球．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生的信息技术水平进行测试，现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析(得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，组：，组：，组：，组：)下面给出了部分信息：
九年级被抽取的学生测试得分中组的所有数据为：，，，，，，，．
八年级被抽取学生测试得分统计表 组别分数/分频数
九年级被抽取学生测试得分扇形统计图 平均数众数中位数八年级分分分九年级分分分
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)上述图表中：______________，______________，______________；
(2)在测试中等级为及以上说明学生对人工智能的关注与了解程度就达标．该校八、九年级共有学生人，估计该校八、九年级中达标的学生共有多少人？
(3)根据以上数据，你认为该校八年级和九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度较好？请说明理由．
14．素材1：某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2160个艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天，
素材2：经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
素材3：由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
(1)求甲、乙两部门每天分别生产多少个传统艺术织品？
(2)若设甲部门工作m天，如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少是多少？
15．山西省打造标准化可复制的社区“养老托育”新模式，树立山西“养老托育”的新标杆，某政府为进一步健全社区工作者职业体系，计划招募3000名乙社区助理，已知A，B两社区招募的人数占总招募人数的，该政府欲为A，B两社区的社区助理每人配备一套办公桌椅，现有甲、乙两种办公桌椅可供选择，已知甲种办公桌椅的单价是乙种办公桌椅单价的，购置1套甲种办公桌椅和3套乙种办公桌椅共需要3000元．
(1)求甲、乙两种办公桌椅的单价；
(2)若要求购置甲种办公桌椅的数量不超过乙种办公桌椅数量的1.5倍，平均每套办公桌椅还需要运费50元，求该政府所花总费用最少的购置方案．
16．我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题．
脐橙品种 A B C
每辆汽车运载量（吨）
每吨脐橙获利（元）
(1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式；
(2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？
(3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值．
17．为响应“绿色校园”号召，某班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆18元，多肉每盆10元．设该班购买了绿萝盆（为整数，且），花店提供两种采购方案，两种方案只能选择其中一种．
方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折；
方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变．
(1)请分别写出方案一所需费用，方案二所需费用与购买绿萝的数量之间的函数表达式；
(2)请帮助该班确定选用哪种方案更省钱？
18．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
19．如图，在中，，垂直平分，垂足为O，，且．
(1)求证：；
(2)求的长．
20．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)连接，若，，求的长．
21．如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA，以NA，NF为邻边作□ANFG．连结DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为（0°≤≤360°）．
（1）如图1，当＝0°时，DG与DN的关系为____________________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）在Rt△ECF旋转的过程中，当□ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝时，连结GN，请直接写出GN的长．
22．在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接．
(1)如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形；
(3)如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）．
23．如图，等边中，点E是上一个动点，且运动过程中始终满足．
(1)如图1，若，，求出的长；
(2)如图2，以为边，在的右侧作等边，延长，使得，连接，再过点F作，交于点H，求证：；
(3)如图3，在（2）问条件下，若，连接，当取得最小值时，请直接写出此时四边形的面积．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．
（1）求证：四边形CFBD是菱形；
（2）连接AE，若CF＝，DF＝2，求AE的长．
25．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．

(1)若，两点同时出发．
①______，______；
②若为何值时，四边形为平行四边形？
③若为何值时，四边形为矩形？
(2)若点先运动秒后停止运动．此时点从点出发，到达点后运动立即停止，则为______时， 为直角三角形（直接写出答案）．
26．如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．
（1）求的周长；
（2）判断是不是直角三角形，并说明理由.
27．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交点分别为点和点，直线过点且与轴交于点，将直线向下平移个单位长度得到直线，已知直线刚好过点且与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)求四边形的面积．
28．“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进A，B两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进A种图书的总费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示．

(1)当和时，求y与x之间的函数关系式；
(2)现学校准备购进A，B两种图书共300本，已知B种图书每本22元．若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，购进两种图书的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并说明怎样购买A，B两种图书才能使总费用最少？总费用少为多少元？
29．甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题．
(1)甲登山的速度是______．
(2)乙到达A地后决定提速，提速后乙的速度是甲登山速度的3倍，求乙登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，直接写出当x为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为85米？
30．如图，已知，，，，长方形的面积为，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长度．参考答案
1．
【答案】(1)；
(2)当购买张票时，两种优惠方案付款一样多，时，，优惠方案1付款较少；当时，，优惠方案2付款较少
2．
【答案】（1）14；（2）3
3．
【答案】，．
4．
【答案】(1)
(2)
5．
【答案】，
6．
【答案】(1)
(2)
7．
（1）解：如图所示，即为所求．

∵,
∴四边形为平行四边形．
（2）解：如图：∵是等腰直角三角形，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴．

∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
8．
【答案】
（1）解：①如图，直线为所求；
②如图，、的面积和的面积相等，
故符合条件的格点有2个．
（2）如图，，为所求．
方法一，如图：
方法二，如图：
方法三，如图：
，
（3）解：①方法一：如图，连接、，过作交延长线于，过作交延长线于，取中点，连接即可；
方法二：如图，连接，过作交延长线于，取中点，连接，过作交于，连接即可；
②如图（同①方法二作图）：如图，连接，过作交延长线于，取中点，连接，过作交于，连接即可；
∵，
∴，
∴，即，
同理可得：，
∵是中点，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图，
设，
∵，
∴四边形、、是矩形，
∴，，，
，
则，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由图可知：，
∴当是等腰三角形时，即，
∴，
解得
，不合题意舍去，
即：当是等腰三角形时，线段的长为.
9．
解：如图，四边形即为所求．
根据作图可得垂直平分，是的角平分线，
∴，，
∴，，
又∵是的角平分线，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
10．
（1）解：如图，线段即为所求；

（2）证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平分．
11．
解：（1）如图，AE为所作；
（2）DC=BE．
证明如下：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，AD＝BC．
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=AB，AD∥BC，
∴∠E=∠DAC，
∴∠E=∠BAE，
∴BA=BE，
∴BE=DC．
12．
【答案】(1)
(2)
13．
【答案】(1)、、
(2)估计该校八、九年级中达标的学生共有人
(3)九年级学生对人工智能的关注与了解程度较好，理由：
由表知，九年级学生成绩的中位数大于八年级，
所以九年级学生成绩的高分人数多于八年级，
故九年级学生对人工智能的关注与了解程度较好．
14．
【答案】(1)甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产60个传统艺术织品
(2)应安排甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元
15．
【答案】(1)甲种办公桌椅的单价为600元，乙种办公桌椅的单价为800元
(2)购置甲种办公桌椅120套，乙种办公桌椅80套
16．
【答案】(1)
(2)种
(3)当转运A种脐橙的车辆，转运B种脐橙的车辆，转运C种脐橙的车辆时，利润最大为元
17．
【答案】(1)，
(2)当购买绿萝的盆数时，选用方案一更省钱，当购买绿萝的盆数为20盆时，两种方案费用相同；当购买绿萝的盆数时，选用方案二更省钱
18．
【答案】(1)
(2)
19．
【答案】（1）连接，
∵垂直平分，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
20．
【答案】（1）证明：如图：过点E作于点Q，作于点P，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为菱形，
∵，
∴四边形为正方形．
(2)
21．
【答案】（1）DG＝DN，且DG⊥DN；（2）成立；（3）GN＝或
22．
【答案】(1)
（2）证明：取的中点H，连接，，
由（1）可知：四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形．
(3)
23．
【答案】(1)
（2）证明：如图，在线段上取一点M，使得，连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
(3)
24．
【答案】（1）证明：∵E是边BC的中点，
∴BE＝EC，
∵ DE＝EF，BE＝EC，
∴四边形CFBD是平行四边形，
∵D是AB边中点，E是BC中点，
∴DE∥AC，
∴∠1＝∠ACB＝90°，
∴四边形CFBD是菱形．
；（2）
25．
【答案】(1)①，；②；③
(2)或
26．
【答案】（1）△ABC的周长为；（2）△ABC不是直角三角形，理由见解析．
27．
【答案】(1)
(2)
28．
【答案】(1)
(2)购进A种图书200本，购进B种图书100本时，总费用最少为6450元．
29．
【答案】(1)10米/分
(2)
(3)分，分，分
30．
【答案】对角线长度为或

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