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专题7 多绝对值处理与最值
多绝对值与零点分段法
1. 零点的概念
使式子的值为0的未知数的值可称为零点
2. 零点分段法
①找到所有零点值；②依据零点的位置进行分段；③根据每一段的取值范围去绝对值
3.
分三种情况讨论：①②③
1. 阅读下列材料.
我们知道现在我们利用这一结论来化简含绝对值的式子.例如：化简式子.可令和，分别求得和(这里称－1，2分别为与的零点值).在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：.从而在化简式子时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式.所以
通过以上阅读，解决下列问题：
(1) 的零点值是________;
(2) 化简；
(3) 直接写出的最大值.
2. (1) 已知，直接写出的最小值：________（ ）
(2) 求的最小值.
多绝对值的最值问题(含奇点偶段法)
1. 两个绝对值之和求最小值
两个绝对值之和，在两点之间时取最小值，最小值为两点表示的数中的较大数－较小数.(本类题也可以用零点分段法分类讨论)
1. 求的最小值.
2. 三个绝对值之和求最小值
三个绝对值之和在三个点中间的点处取最小值，最小值为三点表示的数中的最大数－最小数.(本类题也可以用零点分段法分类讨论)
2. 求的最小值.
3. n个绝对值之和求最小值
奇点偶段法：数轴上个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，求式子的最小值，由绝对值的几何意义可得若为奇数，则取中间数，即当时，有最小值；若为偶数，则取中间段上的一个数，即当时，有最小值.
3. (1) 若对任意有理数都成立，则的最大值为________.
(2) 求的最小值.
4. 系数不为1的绝对值之和求最小值
系数不为1的绝对值之和，可以通过提取公因数，化为系数为1的绝对值之和.
4. (1) 求的最小值.
(2) 求的最小值.
5. 绝对值之差求最大值
两个绝对值之差，若，则时有最大值；若，则时有最大值.绝对值和差混合求最大值，先分组，求出每组绝对值之差的最大值，再相加.
5. (1) 求的最大值，并求出此时的取值范围.
(2) 求的最大值.
6. 双重最值
注意挖掘几个绝对值之和有最小值时的隐藏条件，可以借此求出字母的取值范围.
6. (1) 已知，求x＋y的最小值.
(2) ，求的最大值和最小值.参考答案
多绝对值与零点分段法
1. 阅读下列材料.
答案：(1) 5
(2) 令，解得和.
①当时，；
②当时，；
③当时，.
所以
(3) 4
当时，；
当时，，
当时，式子的值最大，最大为；
当时，.
综上，的最大值为4.
2.
答案：(1) －5
(2) 取最小值时，的取值应该在－2到2之间.当时，，此时最小值为6；当1时，；当时，，此时由得.
多绝对值的最值问题(含奇点偶段法)
1. 两个绝对值之和求最小值
1.
答案：由绝对值的几何意义可知表示数轴上表示数的点到表示4与－2的两点的距离和，根据数轴可得当时，有最小值，最小值为6.
2. 三个绝对值之和求最小值
2.
答案：由绝对值的几何意义可知表示数轴上表示数的点到表示的点的距离之和，根据数轴可得当时，有最小值为4.
3.
3.
答案：(1) 6
(2) 可以看成是表示数的点到各点的距离之和.在奇数个绝对值相加时，要想和为最小值，取使最中间一项为0的值.因为最中间一项是，所以，即.当时，.故的最小值为2550.
4.
4.
答案：(1) 可以理解为在数轴上表示的点到表示－7，－2，3，3的点的距离之和，根据奇点偶段法，当在－2与3之间的线段上(即)时，，所以的最小值为15.
(2) 原式，一共有(个)点，根据奇点偶段法可知，在中间点处取最小值，中间点是第(个).因为，所以中间点表示的数是7，把代人，得.
5. 绝对值之差求最大值
5.
答案：(1) 根据绝对值的几何意义，是表示的点到表示－1的点的距离与表示的点到表示2的点的距离的差，由数轴可得当表示点在表示2的点的右侧，即时，有最大值3.
(2) 根据绝对值的几何意义，是表示的点到表示1的点的距离与表示的点到表示2的点的距离的差与表示的点到表示3的点的距离与表示的点到表示4的点的距离的差的和，当时，有最大值为.
6. 双重最值
6.
答案：(1) 因为的最小值为7，此时的最小值为3，此时，所以当时，，此时的最小值为.
(2) ，根据绝对值的几何意义可得的最小值是3，此时的最小值是5，此时，而，因此，所以的最大值为，最小值为.故的最大值是6，最小值是－4.

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