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参考答案
有理数的巧算
一、活用运算律
1. 交换律
1. 计算：
答案：(1) 原式.
(2) 原式.
2. 分配律和结合律
2.
答案：A
3.
答案：(1) 1748 (2) 99900
4.
答案：(1) ①
(2) 原式的倒数为，所以原式.
二、凑整法
1. 运用加法运算律凑整
1. 计算：
答案：(1) 原式.
(2) 原式.
(3) 原式.
(4) 原式.
2. 运算或化简后凑整
2.
答案：
3. 计算：
答案：(1) 原式.
(2) 原式.
(3) 原式.
三、拆分法
1. 拆分为多项的和或差
1.
答案：C
2.
答案：A
3.
答案：(1) (2) (3)
4. 计算：
答案：(1) .
(2) .
5.
答案：(1)
(2) 还有其他的解法：
(3) .
四、分组求和法
1. 近似项分组求和
1. 计算：
答案：(1) 原式
(2) 原式
2. 互消项分组求和
2. 计算：
答案：(1) 1
(2) －1012
3.
答案：(1) ①15－9 ②π－3.14
(2)
五、裂项相消法
1.
答案：(1)
(2) 由(1)得，原式
(3)
2. 计算：
答案：(1) 原式.
(2) 原式.
(3) 原式.
(4) 原式
六、倒序相加法
1.
答案：(1) 设①，则1②，①＋②，得，所以，即.
(2)
(3) 方法一：.
方法二：设，则1001，两式相加得，则1500500，即.
2. 计算：
答案：(1) 设，则，所以.
(2) 设，则有，两式相加得，即，故原式.
七、错位相减法
1. 阅读材料，回答问题.
答案：(1) 9
(2) ①
②由题意得，所以，即.
2.
答案：(1) 设①，则②，
则②－①，得.
(2) 设①，所以②，所以②－①得.设，所以，所以，所以，所以，所以，所以.
有理数的规律问题
一、乘方
1. 观察下列等式：
答案：C
2.
答案：.
3.
答案：(1)
(2) 解析：由题中的数据可得，第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是2，则第②行数的第个数是，第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是1，则第③行数的第个数是.
(3) 取每行的第个数，这三个数的和能等于－509，令，得10，即取每行的第10个数，这三个数的和能等于－509.
二、数塔
1.
答案：D
2.
答案：－208
3.
答案：(1) 因为第1行第1列的数是1，第2行第1列的数是3，，第3行第1列的数是6，6=1＋2＋3，第4行第1列的数是，所以第行第1列的数是，则第13行第1列的数为.所以第1行第14列的数为92，第2行第13列的数为第10行第5列的数为101.
(2) 由(1) 得第100行第1列的数为，所以第99行第2列的数为5049，第98行第3列的数为5048.
三、幻方
1.
答案：
(3) －10或11
2.
答案：(1) 1
解析：由题图可知，每个三角形三个顶点处数的和是，所以.因为，所以.因此.
(2) ①有理数的巧算与规律问题
有理数的巧算
一、活用运算律
运算律：
①加法交换律：；
②加法结合律：；
③乘法交换律：；
④乘法结合律：
⑤乘法分配律：.
1. 交换律
1. 计算：
(1) ；
(2) .
2. 分配律和结合律
2. 计算的结果是（ ）
A. 1 B. －1 C. 10 D. －10
3. 计算：(1) 17.48×37－174.8×1.9＋1.748×820=________；
(2) ________.
4. 阅读下列材料：
计算：.
解法①：原式.
解法②：原式的倒数为，所以原式.
(1) 上述解法中，你认为解法________是错误的；
(2) 计算：.
二、凑整法
1. 运用加法运算律凑整
1. 计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
2. 运算或化简后凑整
2. 如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：________.
3. 计算：
(1) ；
(2) ；
(3) .
三、拆分法
1. 拆分为多项的和或差
如：
2. 拆分为多项的乘积
如：
1. 若1024×63=p，则1024×64的值可表示为（ ）
A. D.
2. 对于两个数，，则（ ）
A. D. 无法确定的大小
3. 计算：(1) ________；
(2) 124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68=________；
(3) 2023×1011×1012×________.
4. 计算：
(1) ；
(2) .
5. 学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题：
计算：，看谁算得又快又对.
有两位同学的解法如下.
小铭：原式.
小俊：原式________.
(1) 请补全小俊的解题过程.
(2) 通过上面的解法对你的启发，你认为有其他的解法吗？如果有，请把它写出来.
(3) 用最简便的方法计算：.
四、分组求和法
1. 近似项分组求和
1. 计算：
(1) 一4.4－；
(2) .
2. 互消项分组求和
2. 计算：
(1) 1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋....＋2021＋2022－2023－2024＋2025=________；
(2) ________.
3. 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：
(1) 根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式(不要计算出结果)：
①________；②________.
(2) 计算：.
五、裂项相消法
1. 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论.阅读感知：在异分母分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫作裂项.类似地，对于可以用裂项的方法变形为.类比上述方法，解决以下问题.
【类比探究】(1) 猜想并写出：
【理解运用】(2) 类比裂项的方法，计算：；
【迁移应用】(3) 探究并计算：.
2. 计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
六、倒序相加法
1. 高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”.许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错.聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程.
解：设①，
则②，
①＋②，得(即左、右两边分别相加)，所以③，所以.
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”.请你利用“倒序相加法”解答下面的问题.
(1) 计算：；
(2) 请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式，猜想：________；
(3) 至少用两种方法计算：.
2. 计算：
(1)
.
七、错位相减法
1. 阅读材料，回答问题.
材料一：因为，，所以.
材料二：求的值.
解：设①，
则②，
②－①，得，
所以，即，所以.
这种方法我们称为“错位相减法”.
(1) 填空：.
(2) “棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下国际象棋(国际象棋棋盘共有64个小方格)，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒米，第三格放四粒米，第四格放八粒米……按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了.
①第64格中应放________粒米.
②设国王输给阿基米德的总米粒数为，求
2. (1)
(2) .
有理数的规律问题
一、乘方
1. 观察下列等式：
①
②
③
④
......
根据此规律，第10个等式的右边应该是，则的值是（ ）
A. 45 B. 54 C. 55 D. 65
2. 请你先计算，然后根据发现的规律解决问题：已知，则________.(用科学记数法表示)
3. 观察下面三行数：
①
②
.③
(1) 第①行数的第个数是________.
(2) 请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第个数是________；同理直接写出第③行数的第个数是________.
(3) 取每行的第个数，这三个数的和能否等于－509 如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由.
二、数塔
1. 如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，那么第7行第3个数为（ ）
A.
2. 如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行.图中数6为第2行、从左向右第2个数；数－24为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第4个数为________.
3. 把自然数依次排成以下数阵：
如果规定横为行，纵为列，如数8排在第2行第3列.已知1＋2＋3＋...＋n=.
(1) 排在第10行第5列的是哪个数
(2) 排在第98行第3列的是哪个数？
三、幻方
1. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图①).“洛书”是一种关于天地空间变化脉络的图案，它是以实心点与空心点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合.“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方(如图②).三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字(数字不重复使用)安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等.
(1) 根据“洛书”中表达的意思，将图②中的三阶幻方补充完整；
(2) 如图③是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将0，1，3，4，7这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方；
(3) 如图④，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”.将－11，－9，－7，－5，－3，－1，2，4，6，8，10，12这12个数填入恰当的位置(数不重复使用)，使每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和都相等，则________.(注：)
2. 幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中.有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成的，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等.如图①是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图②也是这种特殊的三角形幻方.
(1) 若，则处的数值为________.
(2) ①用含的式子表示________；
②x的值为________.

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