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第十二章
电磁感应
第68讲　专题强化二十二　动量观点在电磁感应中的应用
学习目标 命题热点
(1)掌握应用动量定理处理电磁感应问题的方法技巧，能识别常用动量定理的模型。 (2)建立电磁感应问题中动量守恒的模型，并能灵活用动量守恒定律解决问题。 近几年，全国各省市高考中利用动量定理和动量守恒定律解题频繁出现。
考点一
考点二
提能训练　练案[68]
考点一　动量定理在电磁感应中的应用
1．导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动的题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解。
2．此类问题中常用到的几个公式
“导体棒＋电阻”模型
考向1
模 型 一 示意图 水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来
说明：如图所示，导线框在安培力作用下穿越磁场，与“导体棒＋电阻”模型类似。
[答案]　D
A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同
B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之
比为1∶1
C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0
D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域
产生的焦耳热之比为4∶3
[答案]　D
不等间距上的双棒模型
考向2
光滑不等距导轨
示意图
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝2La
光滑不等距导轨
运动 情况 分析 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2
动量 关系 两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
　(多选)(2026·安徽黄山联考)如图所示，空间存
在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够
长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的
间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．a棒加速度的大小始终等于b棒加速度的大小
B．稳定时a棒的速度为1.5v0
[答案]　AC
“导体棒＋电容器”模型
考向3
模 型 一 示意图 (无外 力充 电式)
导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，杆ab初速度为v0，质量为m，电阻不计
模 型 二 示意图 (无外 力放 电式)
导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab质量为m，电阻为R
　(多选)如图所示，水平放置的平行光滑导轨间接有电阻R、电容为C的电容器和一个单刀双掷开关。两导轨间距为L，匀强磁场垂直于导轨平面向下，磁感应强度大小为B。一质量为m、接入电路中的电阻为R的金属棒ab垂直于导轨放置。现将开关拨至位置1，金属棒ab在水平恒力F的作用下由静止开始向右运动，当金属棒ab的速度达到最大时，开关拨至位置2，并撤去外力F，金属棒ab继续运动直至达到稳定状态。不计导轨电阻，下列说法正确的是(　　)
[答案]　ACD
　(多选)如图所示是某同学模拟电磁炮的工作
原理和发射过程，水平台面上有足够长的平行光滑
金属导轨MN和PQ置于塑料圆筒内，质量为m的金
属炮弹置于圆筒内的轨道上，轨道间距为L，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨左端连着平行板电容器和电动势为E的电源。先让单刀双掷开关接1接线柱对电容器充电，充电结束后，将开关接2接线柱。金属炮弹在安培力作用下开始运动，达到最大速度后离开导轨，整个过程通过炮弹的电荷量为q。已知在圆筒中金属炮弹始终与导轨接触良好，不计导轨电阻和电源内阻，炮弹电阻为R。在这个过程中，以下说法正确的是(　　)
D．在其他条件不变时，炮弹的最大速度与电容器电容大小成正比
[答案]　AB
考点二　动量守恒定律在电磁感应中的应用
光滑的平行导轨
示意图
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝La
光滑的平行导轨
力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动
运动图像
能量观点 系统动能的减少转化为内能
动量观点 两杆组成的系统动量守恒
　如图所示，在绝缘水平面上固定两根足够长的
间距为L的光滑平行金属导轨，导轨间有方向竖直向
下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。质量均
为m，接入电路的阻值均为R的金属棒ab和cd垂直于导轨放置，均处于静止状态。现同时给金属棒ab、cd一个水平方向的初速度，ab棒的初速度大小为v0，方向水平向左，cd棒的初速度大小为2v0，方向水平向右。金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻，下列说法正确的是(　　)
[答案]　BD
提能训练　练案[68]
基础巩固练
1．如图所示，在光滑的水平面上宽度为L的区域内，有竖直向下的匀强磁场。现有一个边长为a(a[答案]　B
A．ab棒先做匀减速运动，最后做匀速运动
B．cd棒先做匀加速直线运动，最后和ab以相同的速度做匀速运动
[答案]　CD
3．(2023·福建卷·4题)如图，M、N是两根固定在水
平面内的光滑平行金属导轨，导轨足够长且电阻可忽略
不计；导轨间有一垂直于水平面向下的匀强磁场，其左
边界OO′垂直于导轨；阻值恒定的两均匀金属棒a、b
均垂直于导轨放置，b始终固定。a以一定初速度进入磁场，此后运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，并与b不相碰。以O为坐标原点，水平向右为正方向建立x轴坐标；在运动过程中，a的速度记为v，a克服安培力做功的功率记为P。下列v或P随x变化的图像中，可能正确的是(　　)
[答案]　A
[答案]　A
5．(多选)(2025·山东烟台模拟)如图所示，一光滑、电阻忽略不计的轨道固定在架台上，轨道由倾斜和水平两段组成，倾斜段的上端连接一电阻R＝0.5 Ω，两轨道间距d＝1 m，水平部分两轨道间有一竖直向下，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场。一质量m＝0.5 kg、长为l＝1.1 m、电阻忽略不计的导体棒，从轨道上距水平面h1＝0.8 m高处由静止释放，通过磁场区域后从水平轨道末端水平飞出，落地点与水平轨道末端的水平距离x2＝0.8 m，水平轨道距水平地面的高度h2＝0.8 m。通过计算可知(g取10 m/s2)(　　)
A．导体棒进入磁场时的速度为3 m/s
B．导体棒整个运动过程中，电阻R上产生
的热量为3 J
C．磁场的长度x1为2 m
D．整个过程通过电阻的电荷量为2 C
[答案]　BCD
能力提升练
6．(多选)如图所示，在方向竖直向下、磁感
应强度大小为B的匀强磁场中，有两根位于同一
水平面内且间距为L的平行金属导轨(导轨足够长，
电阻不计)；两根质量均为m、电阻均为r的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上(导体棒与金属导轨接触良好)，t＝0时，ab棒以初速度3v0向右滑动，cd棒以初速度v0向左滑动，关于两棒的运动情况，下列说法正确的是(　　)
[答案]　CD
7．(2023·重庆卷·7题)如图所示，与水平面夹角为θ的绝缘斜面上固定有光滑U型金属导轨。质量为m、电阻不可忽略的导体杆MN沿导轨向下运动，以大小为v的速度进入方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场区域，在磁场中运动一段时间t后，速度大小变为2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。杆在磁场中运动的此段时间内(　　)
A．流过杆的感应电流方向从N到M
C．流过杆的感应电流的平均电功率等于重力的平均功率
D．杆所受安培力的冲量大小为mgtsin θ－mv
[答案]　D
8．(多选)如图所示，宽为L的两固定足够长光滑金属导轨水平放置，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量均为m、电阻值均为r的两导体棒ab和cd静止置于导轨上，其间距也为L，现给cd一向右的初速度v0，对它们之后的整个运动过程说法正确的是(　　)
A．ab的加速度越来越大，cd的加速度越来越小
[答案]　CD
9．如图所示，有两根光滑平行导轨，左侧为位于竖直平面的金属圆弧，右侧为水平直导轨，圆弧底部和直导轨相切，两条导轨水平部分在同一水平面内，其中BC、NP段用绝缘材料制成，其余部分为金属。两导轨的间距为d＝0.5 m，导轨的左侧接着一个阻值为R＝2 Ω的定值电阻，右侧接C＝2×1011pF的电容器，电容器尚未充电。水平导轨的ADQM区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝2 T，虚线AM和DQ垂直于导轨，AB和MN的长度均为x＝1.2 m，两根金属棒a、b垂直放置在导轨上，质量均为m＝0.2 kg，接入电路的电阻均为r＝2 Ω，金属棒a从圆弧轨道距水平轨道高h＝0.8 m处由静止滑下，与静止在圆弧底部的金属棒b发生弹性碰撞，碰撞后金属
棒b进入磁场区域，最终在CDQP区域稳定运
动。不计金属导轨的电阻，求：
(1)金属棒b刚进入磁场区域时的速度大小；
(2)整个运动过程中金属杆a上产生的焦耳热。
[答案]　(1)4 m/s　(2)0.2 J
解得v0＝4 m/s
此后a与b发生弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律可知
mv0＝mv1＋mv2
解得v1＝0，v2＝v0＝4 m/s
即金属棒b刚进入磁场区域的速度大小是4 m/s。
10．(2025·河北卷·15题节选)某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电路提供1 000 A的恒定电流，水平固定的平行长直导轨处于垂直水平面的匀强磁场中，a可视为始终垂直导轨的导体棒，b为表面绝缘的无人机。初始时a静止于MM′处，b静止于a右侧某处。现将开关S接1端，a与b正碰后锁定并一起运动，损失动能全部储存为弹性势能。当a运行至NN′时将S接2端，同时解除锁定，所储势能瞬间全部转化为动能，a与b分离。已知电容器电容C为10 F，导轨间距为0.5 m，磁感应强度大小为1 T，MM′到NN′的距离为5 m，a、b质量分别为2 kg、8 kg，a在导轨间的电阻为0.01 Ω。碰撞、分离时间极短，各部分始终接触良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。
(1)若分离后某时刻a的速度大小为10 m/s，
求此时通过a的电流大小。
(2)忽略a、b所受空气阻力，当a与b的初
始间距为1.25 m时，求b分离后的速度大小，
分析其是否为b能够获得的最大速度；并求a
运动过程中电容器的电压减小量。
[答案]　(1)500 A　(2)25 m/s　能　40 V
[解析]　(1)分离后当导体a的速度大小为10 m/s时，根据法拉第电磁感应定律有E＝BLv
(2)规定水平向右为正方向，a从MM′运动至b位置过程中，由安培力提供加速度，则BIL＝maa1
解得v2＝5 m/s，Ep＝500 J
a、b碰后一起运动至NN′过程中x2＝5 m－1.25 m＝3.75 m
由安培力提供加速度有BIL＝(ma＋mb)a2
分离前速度为v3＝v2＋a2t2
解得a2＝50 m/s2，t2＝0.3 s，v3＝20 m/s
a、b分离过程，由动量守恒定律有(ma＋mb)v3＝mav4＋mbv5
解得v4＝0，v5＝25 m/s
在整个过程中安培力大小恒定，安培力做功大小为一定值，若a、b分离时a的速度为零，则此时b能获得最大速度，最大速度为25 m/s；
上述过程中通过导体棒a的电荷量q＝I(t1＋t2)＝400 C
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