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四川省双流中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.在中，，，则( )
A. B. C. D.
3.若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D.
4.已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若 ， ，则
5.已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
6.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A. B. C. D.
7.函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D. 和
8.小第一天吃巧乐兹的概率是，第一天喝雪碧的概率是，如果第一天吃巧乐兹，第二天喝雪碧的概率是；如果第二天喝雪碧，第二天不吃巧乐兹的概率是，请问小连续两天吃巧乐兹的概率( )
A. B.
C. D. 题目条件不足，无法求出最后答案
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有( )
A. 的最小正周期为
B. 是的最小值
C. 在区间上的值域为
D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
10.一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球标号为和，个白色球标号为和，从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于”，则( )
A. 与互斥 B. 与相互独立
C. D.
11.已知是直角三角形，是直角，内角，，所对的边分别为，，，面积为若，，，，则( )
A. 是递增数列 B. 是递减数列
C. 存在最大项 D. 存在最小项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线，如果是双曲线，需要满足的条件
13.解方程 ．
14.一个正方体的边长为，这个正方体能够放下 个半径为的球
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知
求
一个函数的一阶导函数和再次求导的函数能帮助我们确定什么？说说你的观点．
小提示：本道题目若使用高等数学知识解答，你需要做简单说明；我们希望你用已有的知识尝试解答，第二问一阶导函数和二阶导函数分别写条你的发现即可，也可以写你在解决导数压轴题时什么时候会用到二阶导，什么时候会用到一阶导，阅卷老师会综合作答质量进行评分
16.本小题分
在中，角所对的边分别为已知
若，，求的面积；
若，求的周长的取值范围；
若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点．

证明：；
若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；
设直线与平面所成角为，求的取值范围．
18.本小题分
硬币问题是概率学的一个有意思的问题，请根据所学，回答以下问题：
如果做抛硬币实验次假设硬币质地均匀，就是正常的硬币，没有其他因素干扰，发现次都是正面，能否说明抛出硬币正面的概率并不是，我们平时对此的储备知识有误？请结合你所学的知识，说说你的看法．
一个赌徒抛次硬币都是正面假设硬币质地均匀，就是正常的硬币，没有其他因素干扰，请问第次硬币是正面的概率能否被计算？请说明理由．
赌徒从两枚硬币中选一枚：币两面都是正面，币是公平币抛出正面和反面概率均为赌徒选了其中一枚，连抛次全是正面，请问第次是反面的概率？
19.本小题分
函数性质研究是高中数学学习中非常重要的一环，我们可以通过已有的知识去推出新的结论请回答下面问题：
将向上、下、左、右分别平移个单位，其平移后的函数解析式分别是什么？请直接写出答案
以为基础，将函数 的图象绕原点 逆时针旋转，求问：当 为______时，旋转后的图象仍能表示为 的形式；当 为______时，旋转后的图象关于 轴对称．当函数 按照 旋转后，再按照的平移规律，试求出向上、下、左、右分别平移 个单位后的表达式．
根据，的探究过程，写出你发现的结论写出 条不同方面的，只要合理即可，我们鼓励不同、新奇的看法．
探究小组小明在想：如果把函数 绕原点旋转任意角度，旋转后的表达式还能求出来吗？他查阅资料得知：在平面直角坐标系中，将任意一点 绕原点 逆时针旋转，旋转后对应点记为，有
请根据这个知识写出旋转后图象满足的方程，并说明什么时候能写成单一函数 的形式．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】且
13.【答案】或，等价表示为或，
14.【答案】
15.【答案】解：为任意常数；
当时，为任意常数，
当时，为任意常数，高中阶段默认时可仅写前者．
一阶导数的条核心作用：
判断函数单调性、求解单调区间：若，原函数在区间上单调递增；，原函数单调递减．
寻找原函数极值点、最值点：令得到驻点，结合左右导数符号变化，区分极大值点、极小值点；
再结合定义域区间，可求出函数在闭区间上的最大值与最小值．
应用：导数大题第一问求单调区间、证明不等式时，第一步一定求一阶导数判断增减性．
二阶导数的条核心作用：
判断原函数的凹凸性，确定拐点，原函数图像下凸凹函数；
，原函数图像上凸凸函数；二阶导数变号的点就是凹凸性改变的拐点．
应用：不等式放缩、泰勒不等式证明、凹凸性偏移类压轴题，必须用二阶导数．
研究一阶导数自身的单调性，解决隐零点问题一阶导数式子复杂，无法直接解方程时，
我们对一阶导数再次求导得到二阶导，研究的增减，锁定一阶导数零点的范围，也就是隐零点法．
应用：高考导数压轴最难的隐零点题型，是二阶导数最典型的使用场景．

16.【答案】解：根据正弦定理，将等式化为，
又，代入化简得，
因为，所以，
所以，，结合，所以．
又因为在中，，，，
由三角形面积公式得．
因此的面积为．
由分析知，且，由正弦定理，
得，，且，．
所以
，
由，得，故．
所以三角形的周长．
因此周长的取值范围为．
因为为锐角三角形，且，由分析知，
由分析得，，且，
因为为锐角三角形，．
所以
，
由，得，故．
所以三角形的周长．
因此周长的取值范围为．

17.【答案】解：由已知，得；
又因为底面，底面，故；
因为，，，平面，
所以平面，平面，故．
因为底面，底面，所以，
又因为，所以，因此两两垂直．
因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：

则．
在中，，，所以为等边三角形，所以．
又因为，，所以．
在中，，，，
所以，．
因此，因为是中点，故．
设平面的法向量为，，，
则，令，得，
所以平面的法向量．
设平面的法向量为，，，
则，令，则，
所以平面的法向量．
设平面与平面的夹角为，
则．
故平面与平面夹角的余弦值为．
设在上，设，且，
得，，
设平面的法向量为，，，
则
令，则，所以．
因为，平面的法向量为，
所以，
因为，所以，所以，因此
若，则，得，，解得．
当时，，此时，所以的值不存在；
当时，，此时，所以，
所以，
得，
时，，
因为函数在单调递减，且，，

所以，因此得；
时，，
因为函数在单调递增，且，，

所以，因此得．
综上所述，当时，的值不存在；当时，．
因此的取值范围是或不存在．

18.【答案】解：不能说明抛出硬币正面的概率不是，
因为抛硬币正面朝上的概率是理论值，是大量重复实验后频率的稳定值，
实际实验中，频率会因实验次数有限而围绕概率上下波动，具有随机性，
次实验有次正面，频率为，
与的偏差在合理范围内，不能仅凭有限次实验结果否定理论概率
第次硬币是正面的概率能被计算，为，
因为硬币质地均匀，每次抛硬币的结果相互独立，
即前一次的结果不会影响下一次抛硬币的结果，
所以第次硬币是正面的概率仍为，该概率可以通过理论计算得出
第次是反面的概率为
设事件为连抛次全是正面，选中币为事件，选中币为事件，
，，，
，
，
第次是反面的概率为．

19.【答案】解：向上平移个单位，得到；向下平移个单位，得到；
向左平移个单位，得到；向右平移个单位，得到．
函数绕原点旋转时，仍为；绕原点旋转时，图象变为．
这两种情况下，旋转后的图象均能写成的形式，且均关于轴对称．
当按照旋转角旋转后，得到．
再平移个单位：向上平移个单位，得到；
向下平移个单位，得到；
向左平移个单位，得到；
向右平移个单位，得到．
二次函数平移不改变开口方向和形状，仅改变顶点位置；二次函数旋转后是否仍能表示为与旋转角有关；
由旋转公式反解得
因为原图象满足，所以旋转后的图象满足
当，即时，上式可化为单一函数形式．
若，则；
若，则．
当时，上式关于是二次方程，一般对应两个分支，因此整体上不能写成单一函数的形式．

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