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四川省双流中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的求导结果( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列中，，，则等于( )
A. B. C. D. 不确定
3.设是可导函数，且，则( )
A. B. C. D.
4.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A. 有极大值 B. 有极小值
C. 有极大值 D. 有极小值
5.如图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图中阴影三角形的个数为，记为，图中阴影三角形的个数为，记为，以此类推，，，，数列构成等比数列．设的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
6.记为数列的前项和若，则( )
A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项
C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项
7.定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有( )
A. B.
C. D.
8.已知函数 在内不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面正确的是( )
A. 在等比数列中，若，，则
B. 等差数列的前项和为， ，则的最大值为
C. 在等差数列中，若，则
D. 在等比数列中，若，，则
10.已知，且，则( )
A. 存在，使得
B. 对任意，都有
C. 对任意，都存在，使得
D. 若过点可以作曲线的两条切线，则
11.定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是( )
A.
B. 方程有三个根
C. 若关于的方程在区间上有两解，则或
D. 若函数在区间上有最大值，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的通项公式为，则 ．
13.函数过的切线方程为 ．
14.，当时，的极值点个数 ；当不确定的时候，的极小值点个数可能为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，其中为常数，．
求数列的通项公式；
若是等差数列，求和的取值范围，然后求出这个等差数列公差．
16.本小题分
已知．
求；
讨论的单调性，直接写出答案，不用写出过程；
求在上可能的极值点个数用含的式子表示，写出最后答案即可
17.本小题分
已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，．
求数列，的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
有一不等式：，．
能否给出两个区间，使得“且”与“，”互为充要条件说明理由注意均为非空开区间
求的最大值；
当，对于所有整数都有吗请说明理由．
19.本小题分
设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．
求；
求的单调区间；
设，函数，求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】或
14.【答案】
15.【答案】解：数列通项与前项和的关系是，
当时，代入题设相减，
对于，，
综上可得，．
对于，此时是等差数列，
公差为，
此时需要保证第一项和后面的项，构成等差数列，
因此，计算后得，
故可以是任何实数．

16.【答案】解：因为，所以，
由可知，故对讨论，
当时，为常数函数，不单调
当时，，则单调递增，
即，则，
故；
，则单调递减，
即，则，
故；
当时，，则单调递增，
即，则，
故；
，则单调递减，
即，则，
故；
由可知，
极值点要满足，即，
得，解得，
当时，为常数函数，无极值点；
当时，当时，，
故讨论即可，因为，故，
解得，故极值点的个数为向下取整

17.【答案】由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，
则，解之得
所以数列的通项公式，的通项公式为；
，
则数列的前项和；
设，
则，
则
．
所以．
所以．
18.【答案】解：不能，理由如下：当可得，由可得，这两个投影范围可以求出，但与之间存在约束条件；例如虽然满足投影范围，但不满足原不等式例如取，因此可行域不是矩形区域故不存在独立的范围．
若直线与曲线没有公共点，那么恒成立，
因在时有最小值，可适当向上平移直线仍然使得不等式成立，
从而会更大，故最大值时直线与曲线必有公共点，但是不能相交，
设直线与曲线切于，则：
则，令，
，当时，，
当时，，
当时，，
故当时，取最大值，．
令，需要验证，对于任意整数均有
当时，，成立；当，，成立
当令
则，则故对所有
均成立；当左边，故不等式成立
综上，对于所有整数均成立．

19.【答案】解：由，可得，
进而可得．
，解得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是．
证明：由，
得，，
令函数，则，
由知，当时，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
因此，当时，，得，即，
令函数，则，
由知，在上单调递增，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
因此，当时，，即，
所以．

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