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云南昆明市东川区2025-2026学年高二下学期7月期末质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.样本数据，，，，的上四分位数第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.若集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的通项公式为，则( )
A. B. C. D.
5.某班某天下午要安排节课，现有语文、数学、英语、体育个科目可以安排，要求每个科目至多安排一节课且第一节不安排数学，则不同的排法种数是( )
A. B. C. D.
6.函数在区间上的极大值点为( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数，其图象关于点对称，则下列结论一定正确的是( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 图象关于点对称 D. 图象关于直线对称
8.在正三棱锥中，，与底面所成的角为，若点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
10.如图，菱形边长为，，点为的中点，将沿翻折至的位置，使得四棱锥的体积为，则( )
A. 平面 B. 平面
C. D. 点到直线的距离是
11.已知点在双曲线上，点，，则( )
A. 双曲线的两条渐近线相互垂直
B. 面积的取值范围为
C. 可能为直角
D. 双曲线在处的切线与轴交于点，则，的横坐标的乘积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量、在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为，则 ．
13.已知抛物线：的焦点为，点在上，在准线上的投影为，若，则 ．
14.已知奇函数在上单调递增，若锐角满足，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，为圆柱底面圆的内接三角形，为圆的直径，是母线．
求证：平面平面；
若，，求二面角的余弦值．
16.本小题分
某校际足球赛小组赛中，支球队进行单循环赛即每支球队都会和同组的另外支球队比赛一场，每场比赛胜者积分，负者积分，平局各积分，已知球队在小组赛中每场比赛胜的概率为，平局的概率为，输的概率为设所有球队的每场比赛结果相互独立．
求球队在小组赛中总积分不低于分的概率；
若小组赛根据组内各球队总积分及其它相关信息确定组内唯一的一个第一名据以往经验，若球队总积分，则获得小组第一名的概率为，若总积分，则获得小组第一名的概率为，求球队在小组赛中总积分不低于分且获得小组第一名的概率．
17.本小题分
的内角所对的边为，面积为，．
求证：为锐角；
若，求．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求的单调区间；
若曲线在点处的切线方程为．
求，的值；
已知点，在曲线上，若直线与平行，求．
19.本小题分
已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，点在直线：上，的最小值为．
求的方程；
当不在轴上时，过作平行于轴的直线交于点，且在轴的右侧，直线与轴相交于点．
证明：，，，四点共圆；
为原点，记过，，，四点的圆为，若与有四个交点，分别为，，，，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为为圆的直径，
所以，
因为是圆柱的母线，
所以平面，平面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面
又平面，
所以平面平面．
如图所示，以点为坐标原点，以，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系．
不妨设，则，，所以，，，
所以，，
设平面法向量为，
则，即
令，则平面的一个法向量为，
因为平面，则平面的一个法向量为，
设二面角为，，
所以二面角的余弦值为．

16.【答案】解：由题可知，总积分大于等于分有种可能的情况：三场全胜得分，两胜一平得分，
因为，，
所以．
由题可得，，
记球队在小组赛总积分不低于分且获得小组第一名为事件，
则，
所以球队在小组赛总积分不低于分且获得小组第一名的概率为．

17.【答案】解：由可得：
，
化简得：，
在中，，，
所以，由正弦定理知，
故由余弦定理可得，又，所以为锐角．
因为，由正弦定理可得，，，
因为，所以，
化简得：，
由余弦定理可得，
又因为，而为锐角，所以，
由正弦定理可得．

18.【答案】解：当时，，定义域为，
求导得，令，即，解得．
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上，的单调递增区间为，单调递减区间为．
，，所以，
所以，在点处的切线为，
故，，所以．
由可知，定义域为，则，，
所以，即，
令，定义域为，求导得，
令，定义域为，求导得，
所以在上单调递增，
又，所以当时，，当时，．
所以当，，单调递增；当，，单调递减，
当时，；当时，，
所以有两根，其中一根为，另一根为，且．
因为，所以；
又且，所以，
所以，
因为在上单调递减，所以，
又，，所以．

19.【答案】解：设，，
则的最小值为，故，即，
又离心率为，解得，，
所以椭圆的方程为．
证明：由可知，，，
设，则在椭圆上，且，
代入椭圆方程得，
直线的方程为，所以，
设过，，的圆的方程为，
则，解得
所以的外接圆方程为，
将代入得，，整理得，等式成立，
故点在的外接圆上，即，，，四点共圆．
因为圆与椭圆的交点为，，，，所以在外，所以，即，
又，所以．
联立，整理得，
易知其中的一个根为，则另一个根为，
设，则，
又因为圆与椭圆的对称性，不妨设，则，
，
，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
又当时，；当时，；
所以的取值范围为．

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