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云南大理白族自治州2025-2026学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线：，则( )
A. B. 的焦点在轴上 C. D. 的焦点在轴上
4.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在梯形中，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以直线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在所在平面内有一点，满足，则与的面积之比是( )
A. B. C. D.
8.函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点在抛物线上，点为抛物线的焦点，则( )
A. 焦点的坐标为 B. 抛物线的准线方程为
C. 若，则 D.
10.已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则是直角三角形
11.已知函数，则下列说法中正确的有( )
A.
B.
C. 若函数，，使得成立，则
D. 在处的切线方程为：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等比数列中，，，则 ．
13.甲袋子中装有个白球和个红球，乙袋子中装有个白球和个红球，先随机取一个袋子，再从该袋子中不放回的取两次，每次取一个球，则在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为 ．
14.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，直角边，的三边围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ若，设，则区域Ⅲ面积的最小值为 ；过点作于点，当面积最大时，则区域Ⅱ的面积 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了解关注“苏超”赛事与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表．
不关注赛事 关注赛事 合计
男性
女性
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关？
现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这名市民中抽取人参加抽奖活动，记这人中男性人数为，求的分布列和数学期望．
附：，
16.本小题分
在数列中，，．
求证：数列是等差数列；
令，求数列的前项和．
17.本小题分
如图．三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，．
证明：平面；
求锐二面角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
令．
当时，讨论函数在上的单调性；
若在内存在唯一的极大值点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆交于、两点．
若，求的周长；
若，，是否存在直线，使得在为直角三角形？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由；
若存在，使得、中一个面积是另一个面积的两倍，求椭圆的离心率的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：零假设：关注“苏超”赛事与性别无关，
则，
故依据小概率值的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关，
关注赛事的男女的比例为，故抽取的个人中，男生抽取了人，女生抽取了人，
故可取，，，
，
故的分布列为

16.【答案】解：由，则
可得，又因为，所以，
所以是首项为，公差为的等差数列．
由知，，所以．
，
，
得，
，
所以．

17.【答案】连接，，，因为为正三角形且，
为的中点，所以，，又，，
所以，则，
又，，，
所以，所以，所以，
又，，平面，所以平面
由可知平面，，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，取，
设平面的法向量为，则，取，
设锐二面角的平面角为，则，
所以锐二面角的余弦值为．

18.【答案】解：根据题意，，，
，
，，所以所求切线方程为．
时，，，
设，则，
当时，，，所以；
当时，，，所以．
所以在单调递减，在单调递增．
所以当时，，
所以在上单调递增．
由已知，，，
当时，，
所以在上单调递增，不合题意．
当时，设，则，
当时，，，所以；
当时，，，所以．
所以在单调递减，在单调递增．
因为，当，；
当，，
所以存在，，使．
当变化时，，情况如下：
所以在上存在唯一的极大值点，符合题意．
综上所述，．

19.【答案】解：，
由椭圆定义可得，
故的周长为；
若，，则，由，故，，
由题意可得斜率不为，设，、，
联立，消去可得，
则，，
若，由、，
则，
即
，
解得，即；
若，由，，
则，
由，则，
故，无解，
故，结合椭圆对称性可得；
综上所述：存在直线，使得为直角三角形，
且直线的方程为，即；
由椭圆的对称性，不妨设，
则，即，
由题意可得、异号，故，
设，联立
消去可得，
则，，
由，则，，
即，化简得，
即，由、，故，
即，即有，故，则．

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