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江西省九江市2025-2026学年下学期期末考试高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.在中，若，则( )
A. B. C. D.
3.中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知是周期为的偶函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
5.设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的个数是( )
，，则； ，，，，则；
，，，则； ，，，，则．
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量，满足，，且，设，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
8.如图，四棱锥中，平面，，，，，，则三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则( )
A. 的虚部是 B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限
10.中，角，，所对的边分别为，，，且，则( )
A.
B. 若且有两解，则
C. 若，则
D. 若，则面积最大值为
11.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：；；已知，，均为复向量，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的表面积为 ．
13.在中，若，则的最小值为 ．
14.如图，直三棱柱中，，，，是的中点，点是线段上的动点，点在线段上，，则三棱锥的体积最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
求的单调递增区间．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，在棱上，且．
过点，，作三棱柱的截面，并写出作法；
求证：平面．
17.本小题分
中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
证明：；
若，，的平分线交于点，求．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，，为的中点．
求证：平面平面；
求二面角的正切值；
求四棱锥的体积．
19.本小题分
已知函数，且存在正实数，使得对任意，恒有．
求的值；
求的单调区间；
求的所有零点之和．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由图可知，，得，
因为，所以，
得，因为，所以，
因为，所以，则；
由题意得
，令，
得，
则的单调递增区间为，．

16.【答案】解：作法：连接并延长交的延长线于点；
连接，交于点；连接，
则四边形即为所求过的截面．
由题意知，即，故，
是的中点，则，故≌，则，
而，故，即，
又，则∽，则，结合，
故，又是的中点，故，即为的中点，
而是的中点，则，
又平面，平面，故平面，
即平面．

17.【答案】解：因为，由正弦定理得，
又因为，，
故，故，由正弦定理得；
在中，由余弦定理得，计算得，
由可知，为的角平分线，
故，故，
即，
代入得，
计算得．

18.【答案】解：因为，为的中点，所以，
又因为底面为菱形，，所以是等边三角形，
又为的中点，所以，又因为，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面；
过作于，连接；
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，所以，
又是等边三角形，，所以，
又因为，所以，
所以，又，
所以，解得，
在中，；
因为为的中点，所以，
又底面为菱形，所以，
所以
．

19.【答案】解：对任意，平方得：
所以，且时，时，
于是：，左边恒不大于，所以，
若，取，则左边为，矛盾，
若，则由原式可得：，
取，则，也矛盾，
因此只能有，此时有，
即是的周期，而原函数的最小正周期为，
因此，所以．
由知，且以为周期，
因此只需分析上的单调性，
在上，且，故，
而单调递增，单调递减，单调递递增，所以两者之和在上单调递增；
在上，且，故，
此时单调递减，也单调递减，所以两者之和在上单调递减，
结合周期为，对任意整数，单调递增区间为，单调递减区间为，其中．
由于恒成立，故，解得，所以所有零点必在区间内，
又因为，
所以关于对称，而也关于对称，因此方程的根成对关于对称，
若为根则也为根，每对根的和为，
在上，单调递增而单调递减，所以单调递增，
且，，故恰有个根；
在上，，任取，
则
，
令，
因为，所以，
于是，
当时，；当时，，
所以，因此，
即，所以在上严格单调递减，
，，故在上恰有个零点；
由对称性可知和上各恰有个根，端点均不满足方程，
因此共有个根，分成两对，每对和为，故所有零点之和为．

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