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河南许昌市襄城县部分学校2025-2026学年高二下学期7月期末摸底
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记数列为等比数列，已知，，则( )
A. B. C. D.
2.二项式展开式中，系数最大值为( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
4.某班组织文艺晚会，准备从等个节目中选出个节目演出，要求两个节目中至少有一个被选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为( )
A. B. C. D.
5.经统计，某市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气的条件下降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数的导函数为若对任意，都有，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.某体育用品仓库中有个同款篮球，其中一等品有个，二等品有个，三等品有个．现从中不放回地随机抽取个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，，的第百分位数为
B. 样本数据的相关系数越大，成对数据的相关程度也越强
C. 随机变量，则方差
D. 随机变量，则当变化时，为定值
10.已知数列满足设的前项和为，下列结论中正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是( )
A. 当点为的中点时， B. 对于任意点，都有
C. 三棱锥体积的最小值为 D. 点到直线的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中含的项的系数是 ．
13.从不大于的素数中，随机选取两个数，则被选取的两个数之和为的概率是 ．
14.在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，，则点的轨迹方程是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知曲线在点处的切线的斜率为，且当时，函数取得极值．
求函数的极值；
若存在，使得不等式成立，求的取值范围．
16.本小题分
某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”大气成分分析“两项核心任务已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为受行星表面地形复杂度的影响，成功完成“大气成分分析”任务的概率为受大气浓度稳定性的影响，两项任务的完成情况相互独立，互不影响．
求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率；
若同时发射个该型号的探测器，记为这个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，．
若为中点，求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率；同一组中的数据用该组区间的中点值代表
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
假如企业包装时要求把件优等品和，且件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为．
试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
设抽检箱产品恰有箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值．
19.本小题分
已知椭圆的长轴长为，且点在上．
求的方程．
若斜率为的直线与交于，两点，求的最大值．
过点的直线交于，异于的左、右顶点两点，直线，分别交直线于点，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题得：，
结合题意可得
解得，经检验符合题意，
故，
．
令，解得或，
令，解得，
故在，上单调递增，在 上单调递减，
所以的极大值为，
的极小值为；
由可知在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，所以，
所以要使不等式能成立，则．
所以，
故取值范围是．

16.【答案】 的分布列为

17.【答案】解：证明：四边形为菱形，，连结，
为等边三角形，
又为中点，，
由得，，
底面，面，
，
又， ，平面，
平面；
四边形为菱形，，，
，，，
又底面，
分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，，
设平面的一个法向量，
则有，
令，则，
直线与平面所成角的正弦值为
．

18.【答案】解：由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取件的平均数为：
，
依题得，，，所以，
则优等品的质量差在即内，一等品的质量差在即内，
所以正品的质量差在和内，即内，
故该企业生产的产品为正品的概率：
；
从件正品中任选两个，有种选法，其中等级不同有种选法，
故某箱产品抽检被记为的概率为：．
由题意，一箱产品抽检被记为的概率为，则箱产品恰有箱被记为的概率为
，
由，
所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为．
此时由，可解得：舍去，
时，箱产品恰有箱被记为的概率最大，最大值为．

19.【答案】解：根据题意可得，所以．
将点的坐标代入，得，解得，
所以的方程为．
设的方程为．
由得，
由，得，
，
所以，
当时，取得最大值，最大值为．
设直线．
由得，
设．
，得．
直线的方程为，
令，得，
同理可得，，
所以．
因为，
所以．

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