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湖北武汉市六校联考2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知某社区共有居民人，其中老年人人，中年人人，青少年人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取人作为代表，则中年人比青少年多
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
2.下列命题正确的是( )
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
D. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
3.某公司为了解用户对其产品的满意度，从使用该产品的用户中随机调查了个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A. 对该公司产品满意度评分低于分的用户比例估计为
B. 对该公司产品满意度评分不低于分的用户比例估计为
C. 估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值不超过分
D. 估计该公司有一半以上的用户，对产品的满意度评分介于分至分之间
4.如图，直角梯形满足，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是( )
A. B. C. D.
5.如图，在四棱锥的平面展开图中，底面为等腰梯形，，，，，，，则 ．
A. B. C. D.
6.在中，，，，是边一点，是的角平分线，则( )
A. B. C. D.
7.我国古代数学名著九章算术将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，已知直三棱柱是堑堵，其中，则下列说法中不一定正确的是( )
A. 平面 B. 平面平面
C. D. 为锐角三角形
8.某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是，，，，，，若这组数据的平均数与众数的和等于中位数的两倍，则丢失数据的所有可能值的和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知样本数据，则这组数据的( )
A. 众数为 B. 平均数为 C. 上四分位数为 D. 方差为
10.已知空间两条异面直线，所成的角等于，过点与，所成的角均为的直线有且只有一条，则的值可以等于( )
A. B. C. D.
11.在中，下列结论正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据，，，的方差为，若数据，，，的方差为，则的值为 ．
13.如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为 ．
14.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点如图，若正四面体棱长为，则该组合体的表面积为 ；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在几何体中，，梯形和梯形为等腰梯形，，
若，试用来表示以及该几何体的表面积；
若几何体的体积为，求该几何体的表面积．
16.本小题分
某校组织了一次知识竞赛满分分，各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：
成绩
高一学生人数
高二学生人数
试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：
从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好同一组中的数据用该组区间的中点值为代表？
校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：
方案一：记学生得分为，当时，奖励该学生元食堂代金券；当时，奖励该学生元食堂代金券；当时，奖励该学生元食堂代金券；
方案二：得分低于全体样本中位数的每位学生奖励元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励元食堂代金券人数四舍五入．
分别计算出方案一与方案二各年级的奖励，若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择哪种方案？
17.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且．
求证：平面
，，，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知，．
若，求的值和的面积
在的条件下，求的值
若，求的值．
19.本小题分
如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角．
当时，求证：；
定义：过点作垂直底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率．
(ⅰ)当时，求斜三棱柱的投影偏差率不需证明，并求此时平面与平面夹角的余弦值；
关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】或
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：，，
故；
如图所示，取的中点，连接，，
由，，可得四边形为平行四边形，
可得，又由，可得，
可得为等边三角形，三棱锥为正三棱锥，
，如图，过点作平面，垂足为，连接，
可得，，
，
又由，可得三棱柱的体积是三棱锥体积的倍，
可得，解得，
故．

16.【答案】解：高一年级的平均数为，
方差为，
高二年级的平均数为，
方差为，
两个年级的平均数相等，但高二年级的方差小于高一年级的方差，
所以高二年级竞赛成绩更好．
按照方案一，高一年级学生获得奖励为：元，
而高二年级学生获得奖励为：元，
即按照方案一，高一年级获得奖励少于高二
按照方案二，依题意，所抽取的名参加竞赛学生中，
有人，有人，
所以名学生成绩中位数在内，为，
则样本中，高一年级学生成绩低于中位数的人数约为人，
则高一年级获得奖励为：元，
高二年级学生成绩低于中位数的人数约为人，
则高二年级获得奖励为：元，
因，即按照方案二，高一年级获得奖励多于高二，
故若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择方案二．
17.【答案】证明：取的中点，连接，，，，
因为为的中点，所以，
又，所以，故，，，四点共面，
由题意知，分别为，的中点，故，
又平面，平面，因此平面
解：连接，交于点，则为平行四边形的中心，
又，，则等腰，中，根据三线合一，有，，
又，、平面，故平面，
设，，，，
则，
，
，
相加并整理得，，
在，中，有，，
即，
，
解方程组得，，，，
故，，
于是，
在中，，是的中点，
故B，，
于是，
设点到平面的距离为，由，得，
故，
故所求线面角的正弦值．

18.【答案】解：在中，由余弦定理得，即，
化简得，解得或舍，，
，，，
的面积．
，
，
．
在中，由正弦定理得，
，，化简得，
由余弦定理得，
，解得负值舍去，
所以．
19.【答案】解：证明如下：
因为
，
所以，即．
以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴，
建立下图所示空间直角坐标系，
则，
(ⅰ)已知，，，
则，故，
已知与、所成角分别为、，
则，
则，
，则，
，
，
设平面的法向量为，则
令，则，
平面的法向量可取，
设平面与平面夹角为，则
；
(ⅱ)证明如下：
，
已知存在两个不同的锐角，使得，
设，
则，
锐角，是两个不同的锐角，则符号相反，
，即，
化简整理得，
，，为锐角，则，
．

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