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湖北省孝感市楚天教科研协作体2025-2026学年高一下学期6月期末
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为虚数单位，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面，和直线，下列结论正确的是( )
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. 若与是异面直线，，，则
4.孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶泡茶时讲究高冲低斟、均分茶汤茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗如图，一把圆台形茶壶，上口半径，下口半径，高；配套圆柱形品茗杯，底面半径，高装满一壶茶水，最多能倒满杯．
A. B. C. D.
5.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，那么在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6.已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，他选取了与该楼底部在同一水平面内三个共线的测量基点，分别测得塔顶点的仰角为，且，示意图如图，则该楼高( )
A. B. C. D.
8.已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 有三种个体按的比例分层随机抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为
B. 数据的极差与众数之和为
C. 一组数据，在这组数据中插入一个数，方差变大
D. 数据的上四分位数是
10.在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则有两解
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则一定是等边三角形
11.已知正三棱柱的高为，且有内切球球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点，若过，，三点的平面截该三棱柱所得截面为，则( )
A.
B. 平面平面
C. 截面是等腰梯形
D. 该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，则原四边形的面积为 ．
13.已知函数，是奇函数且在上单调递减，则 ．
14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知中，角所对的边分别为，且，则 若点为的费马点，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校社团组织全校学生参加伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的技术传播者竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩满分分，最低分分中，随机调查了部分同学的测试成绩，按，，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．
求图中的值，并估计考核得分的第百分位数；
已知落在内的平均成绩是分，方差是，内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差．
附：设两组数据的样本量样本平均数和样本方差分别为；，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差．
16.本小题分
在复平面内，是坐标原点，向量、对应的复数分别为，．

的对应点在第四象限，求实数的取值范围；
当时，以、分别为正四棱柱底面棱长和侧棱长，、分别是、的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为已知函数．
当时，求的单调递增区间；
若对任意的，都有解，求实数的取值范围．
18.本小题分
在中，角所对边分别为，且满足．
求角的大小；
若是线段的中点，且，求；
若为锐角三角形，，求的取值范围．
19.本小题分
如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，其中，，．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
为上的动点，以为直径作球，设，若球被平面截得的截面圆的面积为，求的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由频率分布直方图，得，因此；
成绩在的频率为，
成绩在的频率为，因此考核得分的第百分位数，
由，解得，
所以考核得分的第百分位数为．
依题意，成绩落在的频率为，成绩落在的频率为，
所以，．

16.【答案】解：由题意可得，
因为的对应点在第四象限，则，解得，
故实数的取值范围是．
由复数的几何意义可得，，
因为，则，解得，则，
所以，，
故正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，
连接、、，如下图所示：

因为、分别为、的中点，所以，
在正四棱柱中，，，则得，
所以，故，
所以异面直线与所成角为或其补角，
因为平面，平面，所以，
则，
同理可得，，
由余弦定理可得，
因此异面直线与所成角的余弦值为．

17.【答案】解：
正弦函数的单调递增区间满足，
令，则：
解得，结合：
当时，得区间；当时，得区间，故的单调递增区间为和
方程有解等价于，即的取值范围为函数在值域上的取值范围：当时，，故，
因此，令，则，
该二次函数开口向上，对称轴为：
当时，取最小值；当时，取最大值，
即，故的取值范围为。

18.【答案】解：由正弦定理，
，
又，
依题意，
即，化简得，
又由余弦定理知，
两式相减得，
；
解：由正弦定理，
，
，，
，
，
，
即的取值范围是．
19.【答案】解：证明：因是圆的直径，则，
因平面，平面，则，
又平面，故平面．
过点作于点，连接，
由平面，平面，则，
因平面，故平面，
又平面，则，
即二面角的平面角，
因在中，，由面积相等可得，
在中，，则．
因，则，，
则球的半径为，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为．
在中，，则，
则，则，
在中，，则，
由可得：，解得，
设球与平面相交得到的截面圆半径为，则，
则，
因，故当时，．

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