资源简介

安徽省芜湖市2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.某中学高一年级人，高二年级人，高三年级人，为了解该校学生对食堂的满意程度，现按照各年级人数的比例分配进行分层抽样，已知抽取高二学生名，则本次抽取的样本容量为( )
A. B. C. D.
4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.九章算术中将正四棱台称为“方亭”现有一方亭，上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该方亭的体积为( )
A. B. C. D.
7.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是”，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数是偶数”，则( )
A. B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
8.已知，是两个非零向量，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组从小到大排列的样本数据，记为现去掉后，得到新数据，则下列说法正确的是( )
A. 新数据的中位数与原数据的中位数相等 B. 新数据的众数与原数据的众数一定相同
C. 新数据的极差不大于原数据的极差 D. 新数据的方差不小于原数据的方差
10.如图，在中，，，，点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知四面体中，，，则下列说法正确的是( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 四面体的外接球的表面积为
C. 若平面过棱的中点，则平面与四面体的内切球相切
D. 若为内部包含边界的动点，且直线与平面所成角的正切值为，则点轨迹的长度小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，如果，互斥，则 ．
13.已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，，则面积的最大值为 ．
14.正方体的棱长为，，分别为线段和线段上的点，若，，则平面截正方体所得截面的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
若与共线，求的值；
若，求与夹角的余弦值．
16.本小题分
甲、乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀，计分规则如下：两人手势相同平局：每人各分；两人手势不同，胜者分，败者分比赛一共进行两局，两人之间及每局游戏结果均相互独立．
求甲单局得分的概率；
求甲得分的概率．
17.本小题分
为响应国家“全民健身”号召，某校为了解学生每周体育锻炼时长情况，随机抽取名学生进行调查，将他们的周锻炼时长单位：分钟进行统计，并得到如下频率分布直方图：
求频率分布直方图中的值；
同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．
估计样本中名学生周锻炼时长的平均数；
若落在内数据的方差是；落在内数据的方差是，求这两组数据合并后的平均数和方差．
18.本小题分
如图，在平面五边形中，四边形是边长为的菱形，，，，将沿翻折至，如图．
若为中点，证明：平面；
当时．
证明：平面平面；
求平面与平面所成角的正切值．
19.本小题分
布洛卡点由法国数学家亨利布洛卡于世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特征，是几何学中兼具美学与实用价值的点．定义如下：设在内部，且，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，，，分别为三个内角，，的对边，且记的面积为，外接圆半径为，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．

求的最小值；
证明：；
利用和的结论：
求的最小值；
证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为向量，，与共线，所以
因为向量，，，所以
所以，
所以

16.【答案】解：不妨设出剪刀、石头、布分别用，，来表示，
则甲、乙比赛的全部基本事件为：
，，，，，，，，，
其中甲得分的有，，，三种情况，
所以；
甲、乙两人两局比赛的结果的全部基本事件为：
胜，胜，胜，平，胜，负，平，胜，平，平，平，负，负，胜，负，平，负，负，
其中满足题意的有胜，平，平，胜，
所以．
17.【答案】解：由题可知，解得．
．
(ⅱ)由题易知落在内有人；落在内有人，
因此：，．

18.【答案】解：连接，相交于点，连接，
四边形为菱形，所以为中点，又为中点，
所以，又平面，平面，
所以平面．
因为，，
又、平面且
所以平面，平面，．
又，、平面且，
平面，又平面，
所以平面平面．
(ⅱ)过作，平面，
又因为，，
平面，是平面和平面的交线
过作于，连结，又，
平面，面，
、，
即为平面与平面所成角的平面角．
由知平面，因为平面，所以，
四边形是边长为的菱形，，，
所以，
在直角中，，所以平面与平面所成角的正切值是．

19.【答案】解：在中，由余弦定理得
，当且仅当时等号成立所以的最小值为．
由余弦定理及面积公式得
．
设，，，在，，中，由余弦定理得
，，．
所以
即，所以．
在中，由正弦定理得
，
同理，，
由中已证结论得，
另一方面，，
结合的证明过程可得，
显然，均为锐角，故，从而和的增减性一致，所以最小，当且仅当最小，
由可知取最小值时，，
所以的最小值为．
证法：由(ⅰ)的证明过程，结合，
可得，
由于是锐角，则证明证明证明，
由可知，所以，结论得证
证法：由和的证明过程并结合正弦定理可知：
证明证明证明
证明．
事实上，因为是锐角，所以
，
当且仅当，，即为等边三角形时，等号成立，
而，所以不可能为等边三角形，所以上面不等式等号取不到，
即成立，结论得证

第1页，共1页

展开更多......

收起↑