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云南省昆明市2025-2026学年高一下学期期末质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的零点所在的一个区间是
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.自动流水线包装的袋装食盐，每袋标准质量是，规定质量误差为测量质量与标准质量之差．在一次产品检验中，随机抽取若干袋食盐，记录质量误差，绘制如图所示的“质量误差”与“对应频率”的频率分布直方图，则其中位数是( )
A. B. C. D.
7.在等腰梯形中，，，，若，则( )
A. B. C. D.
8.原样本，，，，的平均数是，方差是，原样本添加一个数据组成新样本的方差为，原样本剔除一个数据组成新样本的方差为，则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
10.抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，观察落地时朝上的面的点数，记随机事件“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数小于”，“点数大于”，则( )
A. 与互为对立事件 B. 与互斥
C. 是必然事件 D. 与相互独立
11.圆锥的轴截面是边长为的正三角形，，是底面圆的两条相互垂直的直径，，分别为线段，的中点，球是圆锥内可放入的最大的球，则( )
A. 圆锥的母线与底面的所成角是 B. 异面直线与所成角为
C. 球的表面积为 D. 平面截球所得的截面周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，若，则 ．
13.在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知，，且的面积为，则 ．
14.已知且，函数若的图象与直线有两个交点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点．
求证：平面；
若平面，，求证：．
16.本小题分
某商场对购物的顾客提供一次抽奖机会．在不透明盒子中装入个小球，其中个黄球，个红球，小球除颜色外其它均相同．顾客选择下面两种抽取方式中的一种，从盒子中抽取个球．
方式一：一次性抽取个球；
方式二：先抽取个球，记录颜色后，放回盒子中，再抽取一次．
中奖规则为：抽取的个小球至少有一个红球则中奖，否则不中奖．
若顾客选择方式一，求中奖的概率；
哪种抽取方式的中奖概率更大，请说明理由．
17.本小题分
已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，．
求函数的解析式；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且满足，求实数的取值范围，及的值．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求不等式的解集；
若，求的最小值；
若在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围．
19.本小题分
半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，所有半正多面体均可由正多面体切割而来，体现了数学的对称美．如图，是一个棱长为的正方体，点，，，，，，，均在正方体的棱上，设，同时用平面，平面，，平面去截正方体，由这八个平面和正方体的六个面所围成的十四面体记为．
若几何体是由正三角形和正八边形构成的半正多面体，求；
当时，若几何体的表面积为，判断并说明是否为半正多面体；
当时，是否存在使得几何体为半正多面体，若存在，求出的体积；若不存在，说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
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6.【答案】
7.【答案】
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9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：连接交于点，连接，
因为底面是矩形，所以为中点，
又是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，所以，
因为是矩形，所以，
因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，且是的中点，所以，
因为，且平面，所以平面，
又平面，所以．

16.【答案】解：将四个黄球编号为，，，，两个红球编号为，．
采用方式一抽取，所有等可能的结果
，．
记“顾客选择方式一且中奖”为事件，则
，，
所以，
所以顾客选择方式一中奖的概率为．
方式一中奖概率更大，理由如下：
采用方式二抽取，所有等可能的结果，．
记“顾客选择方式二且中奖”为事件，则
，，
所以．
因为，
所以顾客选择方式一中奖概率更大．

17.【答案】解：由题，得，所以，
又，故，所以．
由于，所以，又，所以，
即．
由题．
当时，则，
由，得，故函数在上单调递增；
由，得，故函数在上单调递减．
又，，
，
由于，且，
即在内的图象与直线有两个不同的交点，所以．
由于的图象关于直线对称，所以．

18.【答案】解：当时，的定义域为，因为，所以是增函数，
即，所以，解得，
所以的解集为．
，所以，
，
，因为，所以，，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
因为，所以是增函数，所以在上的最小值为，最大值为，
在的最大值与最小值之和不大于，即
等价转化为恒成立，
因为，所以的最大值为，所以，化简得，
解得，又因为，
所以．

19.【答案】解：依题意：八边形为正八边形，
为正三角形，则，
因为，所以，故．
是，说明如下：
时，，
，
则的表面积为，
所以，解得，
此时，、重合，、重合，、重合，、重合，
八边形退化成边长为的正方形，是边长为的正三角形，
根据对称性，的所有棱长均为，且由个正方形、个正三角形围成，故为半正多面体．
当时，设，
，，
，，
如图，取中点，连接，，
根据对称性可知，，均为等腰直角三角形，四边形为正方形，
则，，，，
所以，
要使得为半正多面体，则，即，解得，
此时，由八个正六边形和六个正方形围成，故是半正多面体，
．

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