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北京市西城区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题
1.下列各数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
2.将方程改写成用含的式子表示的形式，结果是( )
A. B. C. D.
3.如图，直线与相交于点，过点作，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
4.过点画直线的平行线，小明和小亮借助直尺和三角板完成作图如下，下列说法正确的是( )
A. 小明作图的依据是两直线平行，内错角相等
B. 小明作图的依据是同位角相等，两直线平行
C. 小亮作图的依据是两直线平行，内错角相等
D. 小亮作图的依据是同位角相等，两直线平行
5.下列命题中，真命题是( )
A. 立方根等于本身的数只有 B. 若，则
C. 实数与数轴上的点一一对应 D. 若，则
6.对于任意两个实数，定义一种新运算：若有且仅有一个整数同时满足与，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
7.在平面直角坐标系中，点在第 象限．
8.比较大小： 填“”“”或“”．
9.某班级的宣传展板长，宽按如图所示的方式张贴着三幅长方形宣传画图中阴影部分，宣传画竖直方向的宽度相等，均为，则展板空白部分面积为 ．
10.某校计划开设学生喜欢的美育课程，随机抽取部分学生进行调查，学生从舞蹈、戏剧、合唱、水彩这四个课程中选择一个最喜爱的课程，并将调查结果绘制成条形统计图、扇形统计图，下面给出了部分信息．已知该校共有名学生，根据图中信息，请你估计全校选择“水彩”课程的学生约 人．
11.如图，四边形纸片，，点和点分别为，上的点，沿折叠纸片，点落在点处，点落在点处．若，则 ．
12.在平面直角坐标系中，已知点，将点向右平移个单位长度得到点，将点再向下平移个单位长度得到点，以为边向右作正方形，连接，若，都恰好经过两个象限，则称正方形为“双限正方形”．
当时，正方形 填“是”或“不是”“双限正方形”；
若正方形为“双限正方形”，则的取值范围是 ．
三、解答题
13.计算：
；
求等式中的值：．
14.解方程组、解不等式组
解方程组：；
解不等式组：．
15.如图，，和相交于点，是线段上一点，是线段延长线上一点，是线段上一点，，．
求证：；
请将下面的证明过程补充完整．
证明：，
．
，
．
．
，
填推理的依据
填推理的依据
若，，则 用含的式子表示
16.为了更好地开展“阳光大课间”活动，某校计划购置一批篮球和足球．若购买个篮球和个足球，共需元；若购买个篮球和个足球，共需元．
求每个篮球和足球各多少元？
该校计划购买篮球和足球共个，总费用不超过元．
最多可购买篮球多少个？
若购买足球的数量不超过篮球的数量的，求出所有的购买方案．
17.牵牛俗称喇叭花是常见的藤本植物，某生物兴趣小组开展“光照对牵牛生长影响”的探究实验，相关信息如下：
实验一：探究每日光照时长对牵牛主茎长度变化的影响
选取若干长势一致的牵牛幼苗，保证其他环境条件一致，设置不同光照时长，分组培养天，统计每组主茎的平均长度，整理数据如下表：
每日光照时长
平均长度
实验二：探究光照强度对牵牛主茎长度变化的影响
仍选取若干长势一致的牵牛幼苗，保证其他环境条件一致，固定每日光照时长为小时，设置不同光照强度单位：，分组培养天，统计每组主茎的平均长度，绘制统计图如图．
实验三：研究在最佳光照条件下的主茎长度变化的规律
选取一株长度为的牵牛幼苗，在最佳光照时长和最佳光照强度下进行培养，连续天记录其主茎长度，得到数据并绘制了各对值所对应的点，散点的分布情况如图．
回答以下问题：
根据实验一的统计表，
补全对应的频数分布直方图；
牵牛主茎平均长度达到及以上时，每日光照时长的取值范围是__________；
根据实验二的统计图，推断最佳光照强度约为 ；
根据实验三的统计图，估计这株牵牛在此环境下继续生长到第天的长度约为 精确到
18.点为直线外一点，射线，直线分别与，相交于点，，连接，射线平分点是线段上一点不与点重合，点是射线上一点不与点重合，连接．
如图，若，．
求证：；
在内部作射线交于点，使，若，求的度数．
过点作的垂线交直线于点，直线平分，且与直线交于点，用等式表示，，之间的数量关系，直接写出结果．
19.在平面直角坐标系中，对于点，规定称是点的“绝对坐标”．
点的“绝对坐标”是 ；点的“绝对坐标”是 ；
点，，是轴上从左到右的三个点，点不与原点重合沿平行于二、四象限角平分线的方向移动到轴上，再沿着轴负方向移动个单位长度得到点，点又沿着轴负方向移动个单位长度得到点，其中，，都是非负数．将，，，，这五个点中个不同点的“绝对坐标”之和，记为“阶坐标”，例如：的值是其中一个“阶坐标”．
在，，，，中，“绝对坐标”最大的点是 ；
若“阶坐标”中最大的两个值为，，最小的三个值为，，，则是点 与点 的“绝对坐标”之和，点的坐标是 ；
若，，，，这五个点的横、纵坐标都是整数，全部“阶坐标”的值为，则点的坐标是 ．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】二
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】【小题】
不是
【小题】
或

13.【答案】【小题】
解：
【小题】
解：对于等式，
根据平方根的定义开平方得：
，
当时，
解得，
当时，解得，
或．

14.【答案】【小题】
解：
得，，
，得，
解得，
把代入，得，
解得，
方程组的解为；
【小题】
解：
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为．

15.【答案】【小题】

同旁内角互补，两直线平行
平行于同一条直线的两条直线互相平行
【小题】

16.【答案】【小题】
解：设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元，
购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元，
解得
每个篮球元，每个足球元．
【小题】
解：设购买篮球个，则购买足球个．
由题意，得，
．
最多可购买篮球个．
由题意，得，
．
又，且为整数，
或或．
当时，；
当时，；
当时，．
所有购买方案为：篮球个、足球个；篮球个、足球个；篮球个、足球个．

17.【答案】【小题】
；
【小题】
【小题】

18.【答案】【小题】
证明：，
，
，
．
由图可得，，
，
．
，
，
；
，
，
设，，
，
解得，
，
设射线交于点，如图，
，
，
，
又，
，
在中，
解得，
平分，
；
【小题】
解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
设直线，交直线于点，如图，
，
，即．
由图可得，，
将代入，
得，
平分，
，
又，
，
．

19.【答案】【小题】
【小题】

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