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北京市石景山区2025-2026学年初一下学期期末阶段自测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列调查中，适合全面调查的是( )
A. 了解某班学生喜欢的体育项目 B. 了解某种奶制品中蛋白质的含量
C. 调查某条河流的水质 D. 调查一批电脑的使用寿命
2.若，则下列式子一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.我国量子计算原型机“九章一号”在某一特定问题的计算中，处理个数据需要的时间约为秒，将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
4.能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，直线相交于点，下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
6.以下运算正确的是( )
A. B.
C. D.
7.某书店拟推出由本短篇绘本组成的亲子阅读套装产品．现有本候选绘本，其页数数据如图所示．已知序号为到号的绘本已确定入选，且这本绘本页数的中位数为页．号绘本从甲、乙、丙中挑选，号绘本从丁、戊中挑选，使最终选定的本绘本页数的中位数仍为页，可以选择( )
A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊
8.有张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示不重叠、无缝隙的方式放置在大长方形中，根据图中数据，张小长方形卡片的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.请你写出一个解为的二元一次方程组，你写的方程组是 ．
10.如图，四边形中，点是延长线上一点．请你添加一个条件，能判定这个条件可以是 ．
11.某班名同学利用假期参与了社区志愿服务活动，他们的社区服务时长如下所示：
服务时长
人数
这名同学社区服务的平均时长是 ．
12.一个角是它的补角的倍，则这个角的度数为 __。
13.如图，三角形是由三角形沿着直线平移得到的，若，则，两点之间的距离是 ．
14.在括号中填写推理的依据：
是的余角，是的余角，
．
15.利用归纳的方法探究是正整数的结果的个位数字的规律，并写出：
的个位数字是 ；
的个位数字是 ．
16.已知关于的不等式组有两个整数解，则的取值范围是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共11分。
17.因式分解：
；
．
18.计算：．
四、解答题：本题共8小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知，求代数式的值．
20.本小题分
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
21.本小题分
如图，点，分别在线段上，．
求证：．
22.本小题分
如图，现有一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线将长方形用剪刀平均分成四块大小、形状完全相同的小长方形，将这四块小长方形拼成一个正方形如图，四张小长方形卡片之间不重叠、无缝隙．
观察图，请你写出之间的等量关系是 ；
根据中的结论，若，求的值．
23.本小题分
为响应“全民阅读”的号召，引导学生利用假期养成良好阅读习惯，某中学组织学生开展“假期书香伴成长”的主题活动．为了解全校名学生假期课外阅读情况，学校开展了一次调查研究，从每个班级随机抽取了名学生进行调查，并将收集的数据单位：本进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：
本次调查一共随机抽取了 名学生；
补全条形统计图；
在扇形统计图中，“本”所在的扇形的圆心角等于 度；
抽取的这部分学生假期课外阅读数量的众数是 本；
在这次活动中，学校授予阅读数量不少于本的学生为“书香勤学少年”称号，根据调查结果，估计该校获得该称号的学生有 名．
24.本小题分
年月日至月日，第二十五届八大处中国园林茶文化周在八大处公园成功举办．本次茶文化周以免费品茗、茶文化讲座以及斗茶大会等精彩活动吸引了众多游客．小石和小珊购买了一些茶带回家给长辈们品尝，其中小石购买了袋种茶和袋种茶，共花费元；小珊购买了袋种茶和袋种茶，共花费元．
求，两种类型茶的单价；
若两人计划共同购买两种类型茶共袋，且两种茶均需购买，总费用不超过元，则有哪些购买方案？
25.本小题分
如图，直线，点，分别在直线上，连接，点在线段上，点在射线上，连接，作的角平分线交直线于点，点是直线上一动点不与重合，连接，设．
当时，依题意补全图，并求证：；
作的角平分线交线段于点依题意补全图，并用含的代数式表示的大小．
26.本小题分
关于，的二元一次方程组，给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“合和”方程组．例如：关于，的二元一次方程组的解是，满足，则称方程组是“合和”方程组．
下列方程组是“合和”方程组的是 只填写序号；； ； ； ．
若关于，的方程组是“合和”方程组，求的值；
当时，对于的每一个值，关于，的方程组都是“合和”方程组，直接写出，的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】答案不唯一
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】同角的余角相等
15.【答案】

16.【答案】
17.【答案】【小题】
解：原式
；
【小题】
解：原式
．

18.【答案】解：
．

19.【答案】解：，
，
．

20.【答案】解：
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，

21.【答案】，
．
，
．

22.【答案】【小题】
【小题】
解：由可得，，
，，
．

23.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
【小题】
【小题】

24.【答案】【小题】
解：设种类型茶每袋元，种类型茶每袋元，
根据题意可得
解得
答：种类型茶每袋元，种类型茶每袋元；
【小题】
解：设购买种类型茶袋，则购买种类型茶袋，
根据题意可得
解得，
是正整数，
的值为或，
当时，，
当时，，
答：有两种购买方案：购买袋种茶和袋种茶；购买袋种茶和袋种茶．

25.【答案】【小题】
补全图形：
证明：过点作，
，
，
．
，
；
【小题】
补全图形：
当点在点左侧时，如图，

当点在点右侧时，如图，

26.【答案】【小题】
【小题】
解：
得，解得，
把代入得，解得，
原方程组的解为
关于，的方程组是“合和”方程组，
，
，
；
【小题】
解：当时，对于的每一个值，关于，的方程组都是“合和”方程组，
当时，，
联立
得，
把代入得，解得，
原方程组的解为；
把代入中得，
，
，
对于任意的，等式都成立，
，
．

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