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(共24张PPT)
第2课时　基本不等式的应用
素养目标 思维导图
1.掌握基本不等式及其变形的应用(逻辑推理). 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(数学运算).
课堂探究
探究点一　利用基本不等式求最值
【典例1】(一题多问)
已知a>0,b>0,若2a+b=2,回答下列问题:
(1)求ab的最大值;
(2)求的最小值;
(3)求的最小值;
(4)求的最小值;
(5)求4a2+6ab+b2的最大值;
(6)求的最小值.
【问题解读】利用基本不等式,借助“1”的代换,注意式子变形.
【解析】(1)2=2a+b≥2,所以ab≤,当且仅当b=2a,即a=,b=1时取等号,故ab的最大值为.
(2)=×(2a+b)×()=×(5+)≥×(5+2)=,
当且仅当=,a=b=时等号成立,所以所求最小值为.
(3)a,b均为正实数,
===()[(a+b)+a]=(4+1+)≥(5+2)=,当且仅当=,即a=b=时等号成立.
所以所求最小值为.
(4)=(b+2a)()=(3+)≥(3+2),当且仅当=,即b=2-2,a=2-时等号成立,
所以的最小值为.
(5)由2=2a+b≥2得2ab≤1,
所以4a2+6ab+b2=(2a+b)2+2ab=4+2ab≤5.
当且仅当2a=b=1时取等号,所以=5.
(6)因为2a+b=2,所以2a+(b+1)=3,
所以=()[2a+(b+1)]=(4+)≥(4+4)=,
当且仅当=,即a=,b=时取等号,所以=.
【类题通法】利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式解决最值问题的关键是构造和为定值或积为定值,主要有两种思路:
(1)常用构造定值条件的技巧变换:
①加项变换;②拆项变换;③统一变元;④平方后利用基本不等式.
(2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.
易错警示:使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
提醒:1.利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件;
2.尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.
【定向训练】
1.已知0A. B. C. D.
【解析】选B.由x(3-3x)=×3x(3-3x)≤=,当且仅当3x=3-3x,即x=时取等号.
2.已知x>y>0,则x2+的最小值为　　　　.
【解析】x2+≥x2+=x2+,当且仅当x=2y时取“=”,
又+x2≥2=12,当且仅当x=时取“=”.
综上,当x=2y=时,不等式取“=”,此时x2+的最小值为12.
答案:12
探究点二　利用基本不等式求参数的值、范围
【典例2】(1)已知a>0,b>0,如果不等式≥恒成立,那么m的最大值等于(　　)
A.10 B.9 C.8 D.7
(2)(一题多解)
已知x>8,y>2,且2x+8y-xy=0,若x+y≥t恒成立,则实数t的取值范围为　　　　.
【思维导引】(1)本题考查基本不等式求最值,不等式恒成立问题.a>0,b>0,不等式≥恒成立,可得m≤[(2a+b)(]]min,利用基本不等式求解即可.
(2)将等式变形为=1,然后x+y乘“1”即可求解,也可以利用代入消元法求解或利用因式分解法将所给等式变形后再配凑.
【解析】(1)选B.因为a>0,b>0,不等式≥恒成立,所以m≤[(2a+b)()]min,
因为(2a+b)()=5+≥5+2×=9,
当且仅当a=b时取等号.所以m的最大值等于9.
(2)方法一:乘“1”法
因为2x+8y-xy=0,所以=1,
所以x+y=()(x+y)=8++2≥10+2=18,当且仅当=,即x=12,y=6时取得最小值18.
故实数t的取值范围为{t|t≤18}.
答案:{t|t≤18}
【题后反思】乘“1”法是指用“1”乘以需要求最值的式子,通过化简出现积的定值,从而求得和的最小值.一般有如下形式:
①已知a+b=定值,求的最小值(a,b前均可有系数).
②已知=定值,求a+b的最小值(a,b前均可有系数).
本题中没有出现上述的形式,但条件中给出一个等量关系,因此从该式子入手,想办法化简成如上的形式.
方法二:消元法
因为2x+8y-xy=0,
所以y=,
所以x+y=x+=x-8++10≥2+10=18,
当且仅当x-8=,即x=12,y=6时取得最小值18.
故实数t的取值范围为{t|t≤18}.
答案:{t|t≤18}
【题后反思】对于题目中含有二元等量关系,可以通过消元把其化为一元的不等式求最值问题.
方法三:因式分解——配凑法
因为2x+8y-xy=0,
所以(x-8)(y-2)=16,所以x+y=(x-8)+(y-2)+10≥2+10=18,当且仅当x-8=y-2,即x=12,y=6时取得最小值18.
故实数t的取值范围为{t|t≤18}.
答案:{t|t≤18}
【题后反思】根据题目给定的等量关系2x+8y-xy=0,可将其因式分解,然后通过配凑法凑出定值即可.
【类题通法】含参数不等式的恒成立求解策略
(1)分清主元与次元:在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化.
(2)转化:分离参数、转化为最值问题.
【定向训练】
已知a>0,b>0,若不等式≤恒成立,则m的最大值为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.9
【解析】选A.因为a>0,b>0,≤恒成立,
所以m≤==+2恒成立,
又因为+2≥2+2=4,
当且仅当=,即a=b时取等号,
所以m≤4,即m的最大值为4.
探究点三　基本不等式的实际应用
【典例3】某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保,决定修建一个可使用16年的光伏电站,并入该合作社的电网.修建光伏电站的费用(单位:万元)与光伏电站的太阳能面板的面积x(单位:m2)成正比,比例系数为0.12.为了保证正常用电,修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电,设在此模式下,当光伏电站的太阳能面板的面积为x(单位:m2)时,该合作社每年消耗的电费为(单位:万元,k为常数).记该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和为F(单位:万元).
(1)用x表示F;
(2)该合作社应修建多大面积的太阳能面板,可使F最小 并求出最小值.
【思维导引】(1)先根据电费与x的关系求出k,再结合题意得出F;
(2)利用基本不等式求F的最小值.
【解析】(1)由题意可得,当x=0时,=24,则k=1 200,
所以该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和F=16×+0.12x=+0.12x,x≥0.
(2)由(1)知F=+0.12x=+0.12(x+50)-6≥2-6=90,
当且仅当=0.12(x+50),即x=350时,等号成立,
即该合作社应修建面积为350 m2的太阳能面板,可使F最小,且最小值为90万元.
【类题通法】解实际应用题的三个注意点
(1)构造函数:设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)求最值:根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)注意定义域:在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
课堂练习
1.若mn>0,=3,则m+n的最小值为(　　)
A.2 B.6 C.3 D.9
【解析】选C.因为mn>0,=3,
所以m,n同正,则m+n=(m+n)()=(1++4)≥(5+2)=3,
当且仅当=,即时,等号成立,
即m+n的最小值为3.
2.(2024·聊城高一检测)若a>0,b>0,a+2b=5,则ab的最大值为(　　)
A.25 B. C. D.
【解析】选D.a>0,b>0,a+2b=5,则ab=a·2b≤×()2=,当且仅当a=,b=时取等号.
√
√
3.已知实数x,y满足x2+y2-xy=1,则x+y的最大值为　　　　.
【解析】因为x2+y2-xy=1,所以x2+y2=1+xy.
所以(x+y)2=1+3xy≤1+3×()2,即(x+y)2≤4,解得-2≤x+y≤2.
当且仅当x=y=1时等号成立,所以x+y的最大值为2.
答案:2
4.若x<3,则y=+x的最大值为　　　　.
【解析】因为x<3,所以x-3<0,
所以y=+x=+(x-3)+3=-[+(3-x)]+3≤-2+3=-1,
当且仅当=3-x,即x=1时取等号,所以y的最大值为-1.
答案:-1
5.某化工企业去年年底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位:万元).
(1)用x表示y.
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备.则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.
【解析】(1)由题意得
y=,
即y=x++1.5(x∈N+).
(2)由基本不等式得:y=x++1.5≥2+1.5=21.5,
当且仅当x=,即x=10时取等号.
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.
谢 谢

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