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2.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
素养目标 思维导图
1.探索并了解基本不等式的证明过程(逻辑推理). 2.掌握基本不等式,明确等号成立的条件(逻辑推理). 3.会用基本不等式证明不等式(逻辑推理).
课前自主学习
问题1.若a,b∈R,则代数式a2+b2与2ab的大小关系如何
提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以对 a,b∈R,a2+b2≥2ab.
问题2.问题1的结论中,“=”何时成立
提示:对于(a-b)2≥0,当a=b时,(a-b)2=0,所以当a=b时,a2+b2=2ab,等号成立.
问题3.若a>0,b>0,且把a看作()2,把b看作()2,那么a+b与2的关系如何
提示:a+b-2=()2+()2-2=()2≥0,所以a+b≥2.
问题4.问题3的结论中,等号成立的条件是什么
提示:对于()2≥0,当=,即a=b时,等号成立,此时a+b=2.
【核心概念】
1.重要不等式
当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当_____时,等号成立.
2.基本不等式
(1)有关概念:当a,b均为正数时,把称为正数a,b的算术平均数,把称为正数
a,b的几何平均数.
(2)基本不等式:如果a,b是正数,那么≤,当且仅当_____时取“=”.
(3)变形:ab≤()2≤,a+b≥2(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立).
a=b
a=b　
3.最值
设x,y为正实数,
(1)若x+y=s(和s为定值),则当_____时,积xy有最____值,且这个值为.
(2)若xy=p(积p为定值),则当_____时,和x+y有最____值,且这个值为_____.
x=y
大
x=y
小
2
课堂合作探究
探究点一　基本不等式的简单应用
【典例1】(1)已知a>0,b>0,则“a+b≤2”是“ab≤1”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【思维导引】通过基本不等式的性质判断前者是否能推出后者,通过特例判断后者是否能推出前者,即可得到结论.
【解析】选A.当a>0,b>0时,a+b≥2,则当a+b≤2时,有2≤a+b≤2,解得ab≤1,
当且仅当a=b=1时等号成立,充分性成立;
当a=2,b=时,满足ab≤1,但此时a+b=>2,必要性不成立,
综上所述,“a+b≤2”是“ab≤1”的充分不必要条件.
√
(2)若0A.b>>a> B.b>>>a
C.b>>>a D.b>a>>
【思维导引】由基本不等式的性质进行逐一判断即可.
【解析】选C.因为0a+b,所以b>>.因为b>a>0,所以ab>a2,所以>a.故b>>>a.
【类题通法】利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)看结构形式:利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积).
(2)明确条件:利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0.
√
【定向训练】
(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0 B.a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R
C.a+b≥2成立的条件是a≥0,b≥0 D.a+b≥2成立的条件是ab>0
【解析】选BC.根据不等式成立的条件可知只有B,C正确.
√
√
探究点二　利用基本不等式证明不等式
【典例2】(1)(多选题)若a,b,c∈R,且a2+b2+c2=1,则(　　)
A.ab≥ B.ab+bc+ca≤1 C.a+b+c≥ D.(a+b+c)2≤3
【思维导引】对于A,B,利用基本不等式,对于等式进行整理,可得答案;
对于C,D,根据题意以及选项B,结合不等式性质,可得答案.
【解析】选BD.对于A,由a2+b2+c2=1,得a2+b2=1-c2,
由a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,
可得1-c2≥2ab,解得ab≤≤,故A错误;
对于B,由a2+b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)≥ab+bc+ac,当且仅当a=b=c时,等号成立,则ab+bc+ac≤1,故B正确;
对于C,D,由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,由题意以及选项B可知:(a+b+c)2=1+2(ab+bc+ac)≤3,且a+b+c≤,故C错误,D正确.
√
√
(2)(多选题)已知a,b都是正实数,则 (　　)
A.(a+4b)()≥9 B.a2+b2+≤4
C.a2+b2≥3a+b- D.≥1
【解析】选AC.因为a,b都是正实数,
所以(a+4b)·()=5+≥5+2=9,当且仅当a=2b时等号成立,故A正确;
a2+b2+≥2ab+≥2=4,当且仅当a=b=1时等号成立,故B错误;a2+b2-3a-b+=
≥0,故C正确;=≤=1,当且仅当a=1时等号成立,故D错误.
√
√
【类题通法】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,逐步进行逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向 “未知”.
(2)注意事项:
①等号:多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;
②累加:累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;
③变形:对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用.
【定向训练】
已知a,b,c均为正实数,且a+3b+4c=12.求证:≥11.
【证明】因为a,b,c均为正实数,
所以=1++1++1+=3+=3+(a+3b+4c)()=3+(36+)≥3+(36+2+2+2)=11,
当且仅当=,=,=同时成立,
即a=3,b=1,c=时等号成立.
课堂练习
1.若ab>0,则下列不等式不一定成立的是 (　　)
A.a2+b2≥2ab B.a2+b2≥-2ab C.≥ D.≥2
【解析】选C.由条件可得a,b同号,当a,b均为负号时,不等式≥不成立.
2.已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab的最大值为(　　)
A.1 B. C. D.
【解析】选C.已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab≤=,当且仅当a=b=时等号成立.
√
√
3.若x>0,则x+的最小值是　　　　.
【解析】因为x>0,则x+≥2=4,当且仅当x=2时取等号.
答案:4
4.(2024·烟台高一检测)已知a>b>c,则与的大小关系是　　　　　.
【解析】因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,所以=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时等号成立.
答案:≤
5.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:(-1)(-1)(-1)>8.
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,所以-1==>,①
-1==>,②
-1==>,③
又x,y,z为正数,由①×②×③,得(-1)(-1)(-1)>8.
谢 谢

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