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(共24张PPT)
第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式的应用
素养目标 思维导图
1.会求解方程根的存在性问题和不等式成立问题(直观想象). 2.能利用不等式的知识解决实际生活中的一些问题(数学建模).
探究点一　简单分式不等式的解法
【典例1】解下列不等式:
(1)<0;(2)≥0;(3)>1.
【思维导引】先移项、通分,将各因式最高次项系数化为正,再转化为与它同解的整式不等式求解.
【解析】(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0,所以-1故原不等式的解集为{x|-1(2)原不等式可化为≤0,
所以所以即-故原不等式的解集为{x|-(3)原不等式可化为-1>0,
所以>0,所以>0,则x<-2.
故原不等式的解集为{x|x<-2}.
【类题通法】分式不等式的解题策略
解分式不等式要先通过移项、通分转化为以下类型再进行求解:
(1)>0型:>0 f(x)g(x)>0;
(2)<0型:<0 f(x)g(x)<0;
(3)≥0型:≥0
(4)≤0型:≤0
【定向训练】
1.不等式≥2的解集为　　　　　　　.
【解析】≥2化为-2≥0,即≥0,
即≤0.它等价于 -1≤x<0.
所以原不等式的解集为{x|-1≤x<0}.
答案:{x|-1≤x<0}
2.不等式<1的解集为{x|x<1或x>2},那么a的值为　　　　.
【解析】<1化为-1<0,即<0.等价于[(a-1)x+1](x-1)<0.
所以(a-1)x2-(a-2)x-1<0.
所以1,2是方程(a-1)x2-(a-2)x-1=0的两个根.所以解得a=.
答案:
3.已知关于x的不等式>0的解集为{x|-1【解析】不等式>0等价于(ax-1)(x+b)>0(x≠-b),即ax2+(ab-1)x-b>0,
所以-1和2为方程ax2+(ab-1)x-b=0的两根,且a<0,
由根与系数的关系可得,解得,
所以原不等式为<1 -1<0 <0 <0,即x(x-1)<0,解得0即不等式<1的解集为{x|0答案:{x|0【题后反思】依题意-1和2为方程ax2+(ab-1)x-b=0的两根,利用根与系数的关系得到方程即可求出a和b的值,再代入分式不等式求解即可.
探究点二　不等式的恒成立问题
【典例2】(一题多解)
设二次函数y=ax2-2x+2,对于满足10,求实数a的取值范围.
【解析】方法一:当a>0时,y=a+2-,
由10得或或,
所以或或,
所以a≥1或.
当a<0时,,解得a为空集.
综上可得,实数a的取值范围是{a|a>}.
方法二:由y>0,即ax2-2x+2>0,1-在1由-=-2()2+,
又<<1,所以当=时,=,
所以要使y>0在1即可.
故a的取值范围为{a|a>}.
【题后反思】不等式恒成立问题一般转化为函数的最值(或值域)来求解.其解题步骤为①分离参数;②构造函数;③求函数的最值(或值域);④由恒成立得出参数的取值范围.
【类题通法】解决不等式恒成立问题的两种思路
(1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组),求得参数范围.
(2)分离参数,通过求函数的最值,进而确定参数的范围.
【定向训练】
1.已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-2(m∈R).
(1)若不等式f(x)≥0恒成立,求m的取值范围;
(2)对任意的{x|-1≤x≤1},不等式f(x)≥x2恒成立,求m的取值范围.
【解析】(1)已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-2(m∈R),
因为不等式f(x)≥0恒成立,即不等式mx2-(m-1)x+m-2≥0恒成立,
当m=0时,不等式即为x-2≥0,显然不恒成立,舍去;
当m≠0时,要使得f(x)≥0恒成立,则满足,
即,解得m≥,即m的取值范围为{m|m≥}.
(2)已知不等式f(x)≥x2在-1≤x≤1上恒成立,
即(m-1)x2-(m-1)x+m-2≥0在-1≤x≤1上恒成立,
即(m-1)(x2-x+1)≥1在-1≤x≤1上恒成立,
因为x2-x+1=(x-)2+>0,
则可转化为不等式(m-1)≥在-1≤x≤1上恒成立,
设g(x)=x2-x+1=(x-)2+,-1≤x≤1,可得≤g(x)≤3,
所以的最大值为,所以m-1≥,可得m≥,
所以实数m的取值范围为{m|m≥}.
2.已知函数y=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,不等式y<0恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若对于一切实数x,不等式y≥-2恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)要使mx2-mx-1<0恒成立,若m=0,显然-1<0恒成立.若m≠0,
则解得-4综上可知,m的取值范围是{m|-4(2)不等式y≥-2恒成立,即为mx2-mx+1≥0恒成立.若m=0,则不等式为1≥0,显然恒成立;若m≠0,则
解得0综上,实数m的取值范围是{m|0≤m≤4}.
探究点三　一元二次不等式的实际应用
【典例3】某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内
【思维导引】认真阅读题意,理解各个量之间的关系,构建函数关系式或不等式解决问题.
【解析】(1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0整理得y=-60x2+20x+200(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当
即得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x的取值范围为{x|0【类题通法】解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解、认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
(2)引进数学符号,用不等式表示不等关系.
(3)解不等式.
(4)检验符合实际问题.
【定向训练】
某网店销售一批新款削笔器,进价为10元/个.经统计,该削笔器的日销售量y(单位:个)与售价x(单位:元/个)满足如图所示的函数关系.
(1)为了使这批削笔器的日利润最大,应怎样定制这批削笔器的销售价格
(2)为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元/个时的日利润,求售价x的取值范围.
【解析】(1)根据题图可设y=kx+b(15≤x≤30),
将(15,30)和(30,0)代入解得k=-2,b=60,
故y=60-2x(15≤x≤30),
设日利润为W元,则W=(60-2x)x-10(60-2x)=-2x2+80x-600=-2(x-20)2+200(15≤x≤30),
所以当x=20时,日利润最大.
为了使这批削笔器的日利润最大,这批削笔器的销售价格应定为20元/个.
(2)由(1)可知,当x=15时,W=-2×(15-20)2+200=150,
要使这批削笔器的日利润不低于售价为15元/个时的日利润,
则-2x2+80x-600≥150,即x2-40x+375≤0,
解得15≤x≤25,为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元/个时的日利润,
则售价x的取值范围是{x|15≤x≤25}.
课堂练习
1.不等式≥2的解集是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选D.不等式等价于 所以不等式的解集为{x|-≤x<1或12.不等式≥0的解集为(　　)
A.{x|0≤x≤2} B.{x|02}
【解析】选B.由原式得x(x-2)≤0且x≠0,
解得0√
√
3.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则实数a的取值范围是 (　　)
A.{a|-4≤a≤4} B.{a|-4C.{a|a≤-4或a≥4} D.{a|a<-4或a>4}
【解析】选A.欲使不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则Δ=a2-16≤0,
所以-4≤a≤4.
4.若不等式≤2的解集为,则实数k=　　　　.
【解析】因为 ≤2,所以(kx-4)2≤4,即k2x2-8kx+12≤0,
因为不等式≤2的解集为,
所以1和3是方程k2x2-8kx+12=0的两根,所以 1+3=,所以k=2.
答案:2
√
5.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100·(5x+1-)元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围.
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度 并求最大利润.
【解析】(1)根据题意,200(5x+1-)≥3 000,整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0,
又1≤x≤10,可解得3≤x≤10,
故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,x的取值范围是{x|3≤x≤10}.
(2)设利润为y元,则y=·100(5x+1-)=9×104(5+)=9×104[-3()2+],故x=6时,ymax=457 500,即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大,最大利润为457 500元.
谢 谢

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