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第十三章《三角形》单元测试卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（ ）
A．5，7，2 B．5，9，3 C．5，7，3 D．4，5，10
2．在中，边上的高线为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线
4．如图，在中，延长至点D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．或
7．将一块含有角的直角三角板与一把矩形直尺按照如图方式摆放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
9．如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（ ）
A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知三角形的两边长分别为和，则第三边可以是___________（写出一个即可）．
12．已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于________°．
13．在中，已知，，则________．
14．在中，若，则，其依据是___________．
15．如图，，，，则的度数为_____ ．
16．如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____ ．
17．如图，在中，点，分别是和上的点，，，，则_______．
18．如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______．
三、解答题：本题共8小题，共66分.
19．（6分）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图．
(1)过点画边的垂线，交于点；
(2)过点画的高；
(3)线段______的长度是点到直线的距离．
20．（6分）已知三角形的三边长分别为，和．
(1)求的取值范围．
(2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长．
21．（6分）如图，在中，点D，E分别在边和上，，求的度数．
22．（8分）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．
(1)若，，且c是奇数，试判断的形状；
(2)化简：．
23．（8分）著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．
(1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程；
(2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：．
24．（10分）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
(1)若，，则与的周长差为________；
(2)若，，求的大小．
25．（10分）阅读理解
三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ．
任务：
(1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____；
(2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程；
(3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____．
26．（12分）解答下列各题：
(1)如图1，，利用平行线的性质，证明：；
(2)问题迁移：如图2，在（1）的条件下，的下方两点E，F满足，平分．若的2倍与的差为，求的度数．
(3)问题拓展：如图3，在中，，将线段平移到，C的对应点为A，D的对应点为B，连接交的延长线于点E，连接交的延长线于点F，点M在延长线上，连接，，点N在延长线上，点G在延长线上，，请直接写出和的数量关系 ．
参考答案
一、单项选择题
1．C
解：选项A中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形；
选项B中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形；
选项C中，较短边为，，最长边为，，满足三角形三边关系，故能围成三角形；
选项D中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形.
2．B
解：∵三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，
∴中边上的高应过顶点且垂直于所在直线，
观察图形可知，，垂足为，
∴边上的高线为．
3．A
解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性．
4．A
解：，
，
，，
，
故选：A．
5．D
解：∵在中，，
∴，
又∵，
∴.
6．D
解：分两种情况讨论：
当为腰长，为底边长时
∵，符合三角形三边关系
∴该三角形周长为 ；
当为腰长，为底边长时
∵，符合三角形三边关系
∴该三角形周长为
因此等腰三角形的周长为或．
7．B
解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
8．A
解：∵三角形三个内角度数的比为，
∴可设三个内角分别为，，，
∵三角形内角和为，
∴，
解得：，
∴最大内角为，
∵，
即三个内角都为锐角，
∴这个三角形是锐角三角形．
9．A
解：点、、分别为、、的中点，
，，，，
，，
阴影部分的面积为，
，
，
．
10．C
解：∵
∴，，
∵平分
∴
∵平分，，
∴．
∵，
∴
∴，故①错误；
∵平分，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵
∴
∴，故②正确；
∵平分，
∴，即
∵，
∴，故③正确；
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴
又，
代入得
∴，
∴，故④正确．
∴正确的为②③④．
二、填空题．
11．（答案不唯一）
解：∵三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，三角形的两边长分别为和，
∴第三边，即第三边．
∴第三边可以是，答案不唯一．
12．
解：等腰三角形的底角等于，等腰三角形的两个底角相等，
顶角的度数为．
13．
解：在中，，
，
又，
．
14．在同一个三角形中，大角对大边
解：在中，边所对的内角为，边所对的内角为，由可推出，其依据是三角形的边角基本性质，即在同一个三角形中，大角对大边，
故答案为：在同一个三角形中，大角对大边．
15．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
16．
解：如图，
∵，，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∴，
∴.
17．36
解：∵，
∴，
设边上的高为h ，
∴，
∴，
∴．
18．4或11
解：∵中，，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
当点P在边上时，如图，
∵的面积为6，
∴，
∴点P为的中点，即，
此时点运动的路程长为4；
当点P在边上时，如图，
∵为的中点，的面积为6，
∴，
∴，
∴点P为的中点，即，
此时点运动的路程长为；
综上所述，点运动的路程长为4或11．
三、解答题.
19．（1）解：下图直线即为所求，
（2）解：下图线段即为所求，
（3）解：线段的长度是点到直线的距离．
20．（1）解：∵三角形的三边长分别为，和，
∴，
；
（2）解：∵，
∴当时，该三角形为等腰三角形，
∴该三角形的周长为，
答：该三角形的周长为．
21．由三角形内角和为可知，
，
由两直线平行，内错角相等得
.
22．（1）解：∵a，b，c是的三边长
且，，
∴，即，
∵c是奇数，
∴，
∴
∴是等腰三角形；
（2）解：∵a，b，c是的三边长
∴，，，
∴，
∴原式
．
23．（1）解：∵
∴，
∴；
（2）解：∵
∴，
∵
∴，
∴
∴．
24．（1）解：是的中线，
，
的周长为：，的周长为：，
与的周长差为：．
故答案为：．
（2）解：在中，为它的一个外角，且，，
．
是的角平分线，
．
，
，
在中，．
．
25．（1）解：∵点是边上的中点，
∴．
（2）(2)．
证明：如图，过点A作于点E，
∵，
∴，
∵，，
∴．
（3）解：∵是的中线，
∴，
∵是的高线，
∴，
又∵，
∴．
26．(1)证明：如图：设相交于O，过O作，
∴
∴，
∵，
∴
∴，即．
（2）解：∵平分，
∴，
设，则；设，则，
由（1）结论可知：；，
∵的2倍与的差为，
∴，即，解得：，
∴
（3）解：结论：．
如图：在延长线上取Q，
∵，，
∴，
设，则，设，
∵线段平移到，C的对应点为A，D的对应点为B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，，
∴．

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