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第1章《三角形》复习题--定义与命题、证明
一、单选题
1．下列语句中，属于定义的是（ ）
A．直线和垂直吗 B．规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴
C．过线段的中点作的垂线 D．同旁内角互补，两直线平行
2．对命题“同位角相等”的描述正确的是（ ）
A．是真命题 B．题设：两个角是同位角
C．是定理 D．结论：是同位角
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．同位角相等，两直线平行
4．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
5．能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式
8．判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是 ．（填写一个符合条件的的值）．
9．根据下面的条件，写出一个结论，使之成为一个真命题．
（1）内错角相等， ．
（2）如果，那么 ．
10．在一次游戏活动中，老师将一枚硬币给小明，小刚和小华三个同学中的一个（其他同学不确定硬币在谁手里）．小明说：“硬币在我手上”；小刚说：“硬币不在我手上”；小华说：“硬币肯定不在小明手上”．三个同学只有一个说对了，则硬币在 的手上．
11．如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直 （填是或否）．
12．如图，直线，点在上，点在上，点在，之间，和的角平分线相交于点的角平分线交的反向延长线于点．则下列结论：
①；
②；
③若，则；
④．
其中正确的是 ．（只填写序号）
三、解答题
13．（1）判断下列语句是不是命题，若是，写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题．
①同位角相等，两直线平行；
②延长到点C；
③同角的补角相等．
（2）举反例说明下列命题是假命题：
①相等的角是同位角；
②大于的角为钝角．
14．如图，已知、、分别是线段、、上的点，，．
（1）求证：；
（2）若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由．
15．如图，点、、、分别在线段、、上，，．求证：．
16．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出来的．在探索中，有人利用如图所示的图形逐步实现特定条件下角的三等分，图中四边形是长方形，F是延长线上一点，E是上一点，并且，．
（1）和相等的角还有______，理由______．
（2）证明：
参考答案
一、单选题
1．B
解：直线和垂直吗，这是一个疑问句，不是定义，故A不符合题意；
规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴是定义，故B符合题意；
过线段的中点作的垂线，这是一个作法，不是定义，故C不符合题意；
同旁内角互补，两直线平行是一个定理，不是定义，故D不符合题意；
故选：B．
2．B
解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意；
选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意；
选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意；
选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意；
故选：B．
3．A
解：A．相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，但并非对顶角，故A是假命题，故本选项符合题意；
B．垂线段最短是垂线段定理，是真命题，故本选项不符合题意；
C．两点之间线段最短是基本事实，是真命题，故本选项不符合题意；
D．同位角相等则两直线平行，是平行线判定定理，是真命题，故本选项不符合题意．
故选：A
4．C
解：选项A（）：，满足条件，但，结论成立，不能作为反例．
选项B（）：，不满足条件，无法作为反例．
选项C（）：，满足条件，但，结论不成立，符合反例要求．
选项D（）：，满足条件，且，结论成立，不能作为反例．
综上，选项C是符合要求的反例，
故选C．
5．D
解：A、是两个锐角，是钝角，故两个锐角的和一定是钝角为真命题，不是反例，不符合题意；
B、是两个锐角，是钝角，故两个锐角的和一定是钝角为真命题，不是反例，不符合题意；
C、是两个锐角，是钝角，故两个锐角的和一定是钝角为真命题，不是反例，不符合题意；
D、是两个锐角，是锐角，故两个锐角的和一定是钝角为假命题，是反例，符合题意；
故选：D ．
6．B
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
二、填空题
7．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
解：把命题“对顶角相等”改写成“如果 那么 ”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
8．－2（答案不唯一）
解：当时，，
说明命题“对于任何实数，”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
9． 两直线平行
解：（1）内错角相等，两直线平行，是真命题 ；
（2）如果，那么，是真命题，
故答案为：两直线平行；．
10．小刚
解：由题意知，若小明正确，则小刚正确，小明、小刚同学说法正确，故不符合要求；
若小刚正确，小明错误，则硬币在小华手上，则小华说法正确，小刚、小华说法正确，故不符合要求；
若小华正确，小明错误，小刚错误，则硬币在小刚手上，
∴当三个同学中只有一个说对了，则硬币在小刚的手上，
故答案为：小刚．
11．是
解：延长，交于点，的延长线与交于点，如图所示：
则．
．
．
故答案为：是．
12．①③④
【分析】过点P作，得证．故①正确；同理可证，故②错误；设的交点为G，利用平行线的性质，解答即可．
解：过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故①正确；
同理可证，．
∵和的角平分线相交于点，
∴，
∴，
，
故②错误；
设的交点为G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的角平分线交的反向延长线于点．
∴，
∴,
则,
故③正确；
∵
∴，
∴；
∵，
∴，
∵的角平分线交的反向延长线于点．
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴．
故④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题
13．
解：（1）①是命题、且是真命题，写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行．
②不是命题．
③是命题，且是真命题，写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
（2）①反例：对顶角相等，但不是同位角．
②反例：的角不是钝角．
14．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：所得命题是真命题，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．证明：，，
，
，
，
是的外角，
，
．
16．（1）解：∵四边形是长方形
∴，
∴，又，
和相等的角还有 ，
理由：两直线平行，内错角相等．
（2）证明：∵，是的外角
∴
又∵
∴
∵
∴
∴．

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