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第1章《三角形》暑假单元自测卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）
1．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ）
A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3
2．如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合
D．三角形具有稳定性
4．如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（）
A．9 B．10 C．7 D．8
5．如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中， ， ，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交， 于点和点 ，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接并延长交于点 ．若的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（ ）
A．4 B．3.5 C．3 D．2
8．如图，在等腰三角形纸片中，，，D是斜边的中点，E是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点G．已知下列哪条线段的长度可以求出的周长（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
9．已知直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形斜边上的中线长为________．
10．如图，，，，则_______．
11．如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____．
12．如图，绕点A按逆时针方向旋转到，连接，，写出一个与相等的角是：__________．
13．已知是的高，，，则的度数为_______．
14．如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______．
15．如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________．
16．如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______．
三、解答题（共68分）
17．已知的三边长分别为a，b，c．
(1)若，，且c为整数，求周长的最大值．
(2)化简：．
18．如图，在中，，点D，E在上，．
(1)求证：；
(2)尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）
19．已知，如图，于点于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
20．已知：如图，点、、、在一条直线上，，从，，中选出其中两个作为条件，证明．
(1)你选的条件是： ；（填写序号）
(2)证明：．
21．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上．
(2)若的周长为，的周长为，求的长．
22．如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F．
(1)求证：．
(2)若，，则 ．
23．作图题：

(1)如图，已知四边形．请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
①在线段上找一点M，使得，请在图1中作出点M；
②若与不平行，且，请在线段上找一点N，使得和的面积相等，请在图2中作出点N．
(2)请仅用无刻度的直尺分别按下列要求在方格纸中画图．（不写画法，保留画图痕迹）
③在图3的方格纸中，在上找一点P，使得P到、的距离相等；
④在图4的四边形内找一点Q，使，．
24．【模型提出】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
【模型初探】
(1)如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，则线段之间的数量关系为________________．
【变式运用】
(2)如图2，在中，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，若，求的长．
【拓展应用】
(3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，．直接写出的面积_______．
25．如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()．
(1)直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ；
(2)当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由；
(3)连接，当直线平分四边形的面积时，求的值；
(4)当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形．
26．【问题发现】
（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系．
小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、单项选择题
1．A
解：∵对于选项A，较小两边为3和6，最大边为8，，∴能围成三角形，符合题意．
∵对于选项B，较小两边为2和3，最大边为5，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意．
∵对于选项C，较小两边为1和1，最大边为2，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意．
∵对于选项D，较小两边为3和4，最大边为8，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意．
2．C
解：∵与关于直线对称，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴．
3．C
解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合．
理由：∵，，
∴．
∵是重锤所在的直线，
∴是水平的．
4．A
解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
5．C
解：由旋转的性质可得：，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
6．C
解：如图，过点作于点，
由作图过程知：平分，
∴，
∵在中， ， ，的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．D
解：如图：连接交于点O，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴垂直平分， ，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
8．B
解：如下图所示，过点作于点，于点，于点，连接，，
，，
，
点是的中点，
平分，
，，
由折叠的性质可得：，，，
，，
平分，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
；
故只需要知道的长即可求出的周长；
故选B．
二、填空题
9．5
解：已知直角三角形的斜边长为10，
斜边上的中线长为．
10．
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
11．7
解：∵、分别是边、的垂直平分线，
∴，，
∴
．
12．（答案不唯一）
解：由旋转的性质可知，，，．
在中，
，
为等腰三角形．
．
在中，
，
为等腰三角形．
．
，
．
．
．
又，，
．
即与相等的角是：（答案不唯一）．
13．或
解：当高在内时，
，
；
当高在外时，
，
．
14．10
解：如图，连接，
由平移得，
因为点M是的中点，
所以，
因为
所以当点A在上时，取得最大值，即的长度，
因为
所以的最大值为10．
15．或4
解：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
分情况讨论：
①如图，当点在延长线上时， AOP≌ FCQ．
∵，，
∴，
∵，
∴，
又，
当 AOP≌ FCQ时，有．
，，
，
解得；
②如图，当点在线段上时， AOP≌ FCQ．

同①得，
又，
当 AOP≌ FCQ时，有．
，，
，
解得；
综上，当与全等时，t的值为秒或4秒．
16．
解：延长到点，使得，连接，，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：∵，，
，即，
∵c为整数，
∴当，周长的最大值为；
（2）解：的三边长为a，b，c，
，，，
∴
．
18．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，即为所求作．
∵
∴
∵是的平分线
∴．
19．（1）证明：连接，如图所示：
在和中，
，
，
；
（2）证明：由（1）可知：，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
20．(1)①③或②③
(2)选①③
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴ CAE≌ DBF（AAS），
∴，
∴；
选②③
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴ CAE≌ DBF（AAS），
∴，
∴．
21．（1）证明：连接，，，
垂直平分，垂直平分，
，，
，
点在线段的垂直平分线上；
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，
的周长为，
，即，
，的周长为，
，
，
垂直平分，垂直平分，
，，
．
22．（1）证明：连接，，如图：
点D在的垂直平分线上，
，
点D在的平分线上，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：点D在的平分线上，，，
，
在和中，
，
，
，
、、、，
，
，
，
，
故答案为：．
23．（1）解：①如图①，点即为所求；

②如图②，点即为所求，

（2）解：③如图③，点即为所求，

④如图④，点Q即为所求，

24．（1）解：，理由如下，
，
．
，，
．
．
．
在和中
．
，．
，
．
（2）解：，，
．
．
∵∠ACB=∠ACD+∠BCE=90 ，
．
在和中
．
，．
，
；
（3）解∶过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示∶
．
是边上的高，
．
．
，
．
．
在和中，
．
∴DM=AG．
同理可证明∶．
．
．
．
25．（1）解：∵绕斜边的中点旋转得到，
∴，
∴，，．
又∵沿翻折得到，
∴，且共线，
∴．
当点在边上运动时，
∵，，∴.
当点在边上运动时，从点到点的运动时间为秒，速度为个单位长度/秒，
∴．
故答案为：，，；
（2）解：当在边上运动时，，，.
∵，，
∴要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，
只需，即，解得；
（3）解：如图，当点在上运动时，直线交于点,，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
易得四边形的面积为，
∴当直线平分四边形的面积时，
四边形的面积为，即，解得=；
如图，当点在边上运动时，，，，
∴，
四边形的面积为，即，解得=(不满足题意)．
综上，当运动时间为秒时直线平分四边形的面积；
（4）解：由（3），当点在上运动时，，△是以为底的等腰三角形；
当点在边上运动时，∵，，
∴△只可能是以为底的等腰三角形，．
如图，连接，过点作，则，，
在和中，，
∴，
∴，即，解得．
综上，当满足或时，，是以为底或以为底的等腰三角形．
故答案为：或．
26．解：（1）；理由：
如图，延长到点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
，
，
故答案为：；
（2）如图2，延长到点，使，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
；
（3），理由如下，
证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
即，

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