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1.1《认识三角形》
一、单选题
1．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的第三条边长可能是（　　）
A．6 B．5 C．2 D．1
2．如图，四个图形中，线段是 ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
3．在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过作∥
B．延长到，过作
C．作于点
D．过上一点作，
4．如图，和分别是 ABC的角平分线和高，过点作，垂足为若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，（ ）
A． B． C． D．
6．如图， ABC中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，乐山致江路大桥于2024年12月25日顺利通车，许多市民前往游观，桥上斜拉索的作用在物理方面可以平衡大桥主梁的重量和荷载，那么在数学上体现的知识是 ．
8．已知a、b、c为 ABC的三边，则化简
9．如图，在 ABC中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ．
10．已知如图，，，，则的度数为 ．
11.如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为
12．如图，在 ABC中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：
①；②；③；④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题
13．如图，在 ABC中，，于，平分
（1）若，求的度数．
（2）若，求的长．
14．如图，是 ABC边上的一点，，．
（1）求的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式）
解：（1）∵是的外角，（已知），
∴______（______）．
又∵（已知），
∴______°．（等量代换）
（2）若平分，求的度数．（请写出完整的解答过程）
15．已知：，平分，交于点C，E是射线上一动点，连接．
（1）如图Ⅰ，，，求证：；
（2）如图Ⅱ，点E在直线上方，的度数为m，，求的度数．（用含m的式子表示）
16．如图，已知，，是射线上一动点（与点不重合），平分交射线于点．
（1）的度数是_________．
（2）当点运动时，与之间的度数之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的度数之比，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
17.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在 ABC中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下：
∵和分别是和的角平分线
∴，
∴；
又∵，
∴ ① ；
∴ ② ．
请完成探究1的填空， _______， _________；
探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系（只写结论，不需证明）？
结论：___________________．
参考答案
一、单选题
1．B
解：设第三边为x，
∵一个三角形的两边长分别为2和4，
∴，
即，
故选：B．
2．D
解：线段是 ABC的高，则过点作的垂线，垂足为；故满足题意的只有选项D；
故选D．
3．C
解：由，则，．
由，得．故A不符合题意；
由，则，．
由，得．故B不符合题意；
由于，则，
无法证得三角形内角和是．故C符合题意，
由，得，．由，得，，那么．
由，得．故D不符合题意；
故选：C．
4．B
解：∵，，
∴
∵是的角平分线
∴
∴
∵是 ABC的高，
∴
∴
故选：B．
5．D
解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴
，
故选D．
6．C
解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题
7．三角形的稳定性
解：根据题意，得三角形的稳定性是解释依据，
故答案为：三角形的稳定性．
8．
解：∵为 ABC的三边，，
∴，，即，
∴．
故答案为：．
9．6
解：∵，，
∴，
∵是中线，
∴
故答案为：6．
10．
解：，，
，
，
．
故答案为：．
11．
解：由题意得：，
由折叠得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．②③④
解：是 ABC的中线，
，
故②正确，符合题意；
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
故④正确，符合题意；
，，
∴
，
故③正确，符合题意；
过点F作于点P，
∵，是角平分线，
∴，
在中，，
∴，
故①错误，不符合题意；
故答案为：②③④
三、解答题
13．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，平分
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．（1）解：∵是的外角，（已知），
∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
又∵（已知），
∴．（等量代换）；
（2）解：∵平分，（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵在中，，（已证），
∴（三角形的内角和定理）．
15．（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵的度数为m，，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
．
16．（1）解：∵，，
，
．
故答案为：．
（2）解：不变化，，理由如下：
，
，
平分交射线于点，
，
，
是的外角，
．
17.解：
探究1：∵和分别是和的角平分线
∴，
∴；
又∵，
∴；
∴．
探究2结论： ，
理由如下：
∵和分别是和的角平分线，
∴，
又∵是 ABC的一外角，
∴，
∴，
∵是的一外角，
∴；
探究3：．
∵，，O是外角与外角的平分线和的交点，
∴，
∴，
，
．

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