资源简介

(共40张PPT)
湘教·九年级上册
小结与评价
知识图谱
图形与几何
图形的性质
图形的变化
图形与坐标
图形的平移
图形的轴对称
图形的旋转
图形的相似
图形的投影
正弦、余弦、正切的定义
30°，45°，60°的正弦值、余弦值、正切值
已知锐角求正弦值、余弦值、正切值
已知正弦值、余弦值、正切值求对应锐角
解直角三角形及其应用
锐角的正弦余弦、正切
锐角三角函数
锐角三角函数 定义 表示 图示
正弦
余弦 在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦.
在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦.
锐角三角函数
锐角三角函数 定义 表示 图示
正切
在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切.
(1) 正弦、余弦、正切都是比值，没有单位，只与角的大小有关；
(2) 对于锐角∠A 的每一个确定的值，它的正弦、余弦、正切都有唯一确定的值与之对应.
注意
锐角三角函数的表示
锐角三角函数的表示 示例
用一个大写英文字母或一个希腊字母表示角，角的符号“∠”可省略
用三个大写英文字母或一个阿拉伯数字表示角，角的符号“∠”不能省略
sinA，cosα
sin∠ABC、tan∠1
1. 分别求出图①、图②中∠A的三个三角函数值：
针对练习
解：图①，在Rt△ABC中，由勾股定理得
1. 分别求出图①、图②中∠A的三个三角函数值：
针对练习
图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得
2. 如图，A为∠α边上的一点，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则
DC
AB
AD
BC
BC
AC
DC
BC
AD
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12cm，
BC=10cm，分别求∠A，∠B的正弦值、余弦值和正切值.
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12cm，BC=10cm，
【P89 复习题2 第1题】
锐角三角函数之间的关系
① 平方关系
(1) 同角三角函数之间的关系
② 商数关系
(1) 同角三角函数之间的关系
(2) 互余两锐角三角函数之间的关系
任意锐角的正弦(余弦)等于它的余角的余弦(正弦).
针对练习
1.在Rt△ABC中，∠A=90°，且sinB = ，求cosB、tanB的值.
解：因为 ，sin2B+cos2B=1，且cosB > 0，
2. 已知 tanα=0.5，α是锐角，求sinα，cosα的值.
解：由tanα=0.5，α是锐角，
所以 cosα = 2sinα，
【P89 复习题2 第3题】
又因为sin2α+cos2α=1，
所以 sin2α+(2sinα) 2 =1，
特殊的三角函数值
α 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
记忆方法
如图，由锐角三角函数的定义可得30°、45°、60°角的三角函数值.
求下列各式的值：
(1) 1－2sin230°
(2) sin45°cos30°－cos45°sin30°
(1)解：1－2sin230°
(2)解：sin45°cos30°－cos45°sin30°
针对练习
【P89 复习题2 第2题】
利用计算器来求已知锐角的正弦值、余弦值、正切值．
sin
5
0
求 sin50°的值(精确到0.000 1)，可以在计算器上依次按键:
显示结果为0.766 044 443，因此
sin50°≈ 0.766 0.
求cos 10°36′的值(精确到0.000 1).依次按键：
1
cos
0
。,,,
3
6
=
显示结果为 0.982 935 349，
。,,,
因为 10°36′=10.6°，依次按键
1
cos
0
.
6
因此 cos 10°36′ ≈ 0.982 9.
1 °=60′
1′ = 60″
求 25°角的正切值(精确到0.000 1).
可以在计算器上依次按键
tan
2
5
显示结果 为 0.466 307 658，
因此 tan 25°≈ 0.466 3.
已知正弦值、余弦值或正切值，利用计算器求出它的对应锐角.
例如，已知sin α=0.368 8，求对应锐角α (精确到0.1°).
sin
0
.
3
6
8
8
显示结果为21.641 629 2，因此 α ≈ 21.6°.
依次按键
SHIFT
1. 用计算器求下列锐角的正弦值、余弦值和正切值(精确到0.000 1).
(1) 3°15′；
(2) 68°6′.
解：(1) sin3°15′≈0.0567，
cos3°15′≈0.9984，
tan3°15′≈0.0568.
(2) sin68°6′≈0.9278，
cos68°6′≈0.3730，
tan68°6′≈2.4876.
针对练习
【P89 复习题2 第4题】
2. 已知锐角的正弦(余弦、正切)值，用计算器求对应的锐角(精确到1°)
(1) sinα = 0.328 6；
(2) cosα = 0.714 3；
(3) tanα = 0.293 6.
解：(1) α ≈ 19°. (2) α ≈ 44°. (3) α ≈ 16°.
【P89 复习题2 第5题】
解直接三角形
(1) 三边之间的关系a2+b2=c2(勾股定理)
(2) 两锐角之间的关系∠A+∠B=90°
(3) 边角之间的关系
B
A
C
a
b
c
解直角三角形的基本类型和方法
已知条件 图示 解法步骤
两边 两直角边
斜边和一直角边
已知条件 图示 解法步骤
一边一角 一锐角和一直角边 两直角边
斜边和一直角边
已知条件 图示 解法步骤
一边一角 一锐角和一斜边
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=30° ，
c=12cm，求∠B，a，b.
解：∠B=180°－∠A－∠C=180°－30°－90°=60°，
针对练习
【P89 复习题2 第6题】
2. 在菱形ABCD中，已知对角线 AC，BD 的长度分别为4.8cm，3.6cm，求菱形的边长以及∠ABC的正弦值.
解：如图，设AC，BD交于点O，
因为四边形ABCD是菱形，
AC⊥BD，
A
B
C
D
O
【P89 复习题2 第7题】
所以∠ABC=2∠ABO=2×53°=106°，
答：菱形的边长为 3 cm，∠ABC 的正弦值为0.96.
所以 ∠ABO ≈ 53°，
A
B
C
D
O
所以sin∠ABC = sin106°=0.96，
3. 如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC=8，
CD=4，cos∠ABC= ，BF为AD边上的中线.
(1) 求 AC 的长.
(2) 求 tan∠FBD 的长.
解：(1)因为 AC⊥BD， ， BC = 8
所以 AB = 10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
A
B
C
D
F
A
B
C
D
F
(2)如图，过点 F 作 BD 的垂线，垂足为E.
E
因为 BF 为 AD 边上的中线，
所以 F是 AD 的中点
因为 FE⊥BD， FE⊥BD，
所以 FE∥AC，
所以 FE是△ACD的中位线，
利用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程
一般过程 图示
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题) ；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
实际问题
数学问题(解直角三角形)
数学问题的解
实际问题的解
抽象
(转化)
求解 得到
得到
解决
1. 若太阳能热水器的实物图和横断面示意图
如图所示.已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架 CD 与水平线 AE 垂直，AB=150cm，∠BAC=30°，另一根支架 DE=76cm，∠CED=60°.
(1) 求垂直支架 CD 的长度；
(2) 求 OD 的长度；
A
C
E
B
D
O
针对练习
【P89 复习题2 第8题】
A
C
E
B
D
O
解：(1) 在Rt△CDE中，
答：垂直支架CD的长度为 .
A
C
E
B
D
O
(2) 设OD =x cm，则OB=x cm，在Rt△AOC中，
解得 x = ，
答：OD的长度为 .
2. 如图，一枚运载火箭从地面 O 处发射，当火箭
到达点 A 处时，地面 R 处的雷达站测得AR的距离是 4 km，仰角为 30°.火箭继续直线上升 5s 后到达点B处，此时地面 R 处的雷达站测得B处的仰角为45°.求火箭从 A 到 B 处的平均速度( ，结果精确到1m/s).
解：如图，连接OR，由题意得∠BOR=90°，
∠ARO=30°，∠BRO=45°，
所以 OB=OR.
【P90 复习题2 第9题】
所以 AB = OB－OA=OR－OA = 3.46－2=1.46(km).
1.46 ÷5 = 0.292 (km/s) ≈ 292 m /s.
答：火箭从 A 到 B 处的平均速度为 292m/s.

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