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湘教·九年级上册
正弦及特殊角的正弦值
复习回顾
含 30°角的直角三角形有怎样的性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
探究新知
任意画一个 Rt△ABC ，其中∠C=90°，∠A = 30°
(如图2.1-1所示)，则∠A的对边 BC 与斜边 AB 之间的关系为BC = AB.
A
B
C
30°
图2.1-1
由上面可以看出：在有一个锐角为30°的所有直角三角形中，不论直角三角形的大小如何，30°角的对边与斜边的比值都是常数 .
A
B
C
30°
图2.1-1
若把30°角换成任意一个锐角，角α的对边与斜边的比值是否也是一个常数？
如图2.1-2，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A =∠D=α， ∠C =∠F=90°，则 成立吗？为什么？
探究
A
B
C
α
E
F
D
α
图2.1-2
A
B
C
α
E
F
D
α
图2.1-2
因为 ∠A=∠D =α，∠C=∠F= 90°，
所以 △ABC∽△DEF.
在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
总结
如图2.1-3，在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A，即
A
B
C
斜边c
对边a
图2.1-3
1. 正弦是在直角三角形中定义的，因此在研究正弦时先要确定三角形是直角三角形.
2. 正弦反应了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值，没有单位.
4. sinA正弦的符号“sin” 一定要小写，且要注意“∠”的使用：sin∠A，sin∠1，sin∠ABC.
3. 当锐角的度数确定时，其正弦值也随之确定，正弦值与直角三角形的边的长短无关，即与三角形的大小无关.
注意事项
可省略
不可以省略
例1：如图2.1-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，
BC = 3，AB = 5.
（1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值.
解 (1) ∠A的对边 BC=3，斜边 AB = 5，
于是
A
B
C
图2.1-4
A
B
C
图2.1-4
(2) ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得
AC2 = AB2－BC2 = 52－32 =16.
AC = 4.
因此
于是
例1：如图2.1-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，
BC = 3，AB = 5.
（1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值.
随堂诊断
1. 求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值.
解：图①，在Rt△ABC中，由勾股定理得
随堂诊断
1. 求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值.
图②，在Rt△DEF中，由勾股定理得
2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
AD⊥BC 于点 D ，则下列结论不正确的是 ( ).
C
思考：
如何求 sin 60°的值？
AC2=AB2－BC2=AB2－( AB)2= AB2.
于是 AC= AB．
根据勾股定理，得
如图2.1-5，画一个 Rt△ABC ，使∠C=90°，
∠B = 60°，则∠A=30°，从而BC = AB.
A
B
C
60°
图2.1-5
根据勾股定理，得
AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2.
议一议
如何求 sin 45°的值？小芳算出 ，你认为她的结果对吗？
如图，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，则∠B=45°，从而AC=BC．
于是 ，
A
B
C
45°
三个特殊角 (30°， 45°， 60°)的正弦值
例2：计算：
解：
(sin30°)2 简记为sin230°.
随堂诊断
3.计算：
（1） sin230°+ sin260° －sin245°；
解： sin230°+ sin260° －sin245°；
（2）2sin30°+ sin260°sin245°
解： 2sin30°+ sin260°sin245°
练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5.求sin A，sin B的值.
A
B
C
解：∠A的对边BC=5，斜边AB=13.
∠B的对边是AC，根据勾股定理，得
AC2= AB2－BC2= 132－52=144.
于是 AC = 12.
于是
因此
2.如图，在平面直角坐标系内有一点 P(3，4) ，
连接OP，求OP与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，过点P作 x 轴的垂线，垂足为A，则点A坐标为(3，0).
在Rt△APO中，由勾股定理得
OP2 = AP2 + AO2 = 42+32=25.
于是OP=5.
因此
P(3，4)
1
2
3
4
1
2
3
4
y
x
O
α
A
3.计算：
（1） sin260°+ sin245°； （2） 1－2sin30°sin60°.
解：sin260°+ sin245°
解：1－2sin30°sin60°
课堂小结
在直角三角形中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作角A的正弦，记作sin A，即
A
B
C
斜边c
对边a
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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