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湘教·九年级上册
2.2 锐角的正切
新课导入
如图：在Rt△ABC中，
∠C＝90°，sin A=_______；
cos A=_______.
邻边b
A
B
C
斜边c
对边a
∠A的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？
探 究
探究新知
如图2.2-1，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中
∠A=∠D=α，∠C =∠F =90°， 则 成立吗？为什么？
A
B
C
α
E
F
D
α
图2.2-1
因为∠A=∠D =α，∠C=∠F= 90°，
所以 △ABC∽△DEF.
A
B
C
α
E
F
D
α
图2.2-1
在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
总结
如图2.2-2，在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作 tan A，即
A
B
C
斜边b
对边a
图2.2-2
随堂诊断
1.求出下列直角三角形中两个锐角的正切值.
解：图①，在Rt△ABC中，
随堂诊断
1.求出下列直角三角形中两个锐角的正切值.
图②，在Rt△DEF中，由勾股定理得
如何求tan 30°，tan60°的值呢？
如图2.2-3，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°.
AC2 = AB2－BC2 = (2BC)2－BC2 = 3BC2.
由此得出AC= BC．
于是
BC= AB，
∠B=60°．
思考：
A
B
C
30°
图2.2-3
根据勾股定理，得
如何求tan 30°，tan60°的值呢？
思考：
A
B
C
30°
图2.2-3
因此
试一试
求tan 45°值.
A
B
C
45°
如图，画一个Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A=45°.
于是 AC = BC，∠B = 45°，
因此 .
现在我们把30°，45°，60°的正弦值、余弦值、正切值列表归纳如下：
α 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
记忆方法
如图，由锐角三角函数的定义可得30°、45°、60°角的三角函数值.
观 察：
观察表格中的数据，说说你有什么发现？
例：计算：tan45°+ tan230°tan260°.
解：tan45°+ tan230°tan260°
随堂诊断
2. 计算
除30°，45°，60°外，对于一般锐角α的正切值，也可用计算器来求.
求 25°角的正切值(精确到0.000 1).
可以在计算器上依次按键
tan
2
5
显示结果 为 0.466 307 658，
因此 tan 25°≈ 0.466 3.
如果已知正切值，也可以利用计算器求出它的对应锐角.
已知 tan α =0.839 1，要求对应锐角α (精确到1°).
tan
0
.
8
3
9
1
显示结果为 40.000 012 4，可得 α ≈ 40°.
依次按键
SHIFT
利用计算器计算：
(1) tan21°15′≈ ___________ (精确到0.000 1) ；
(2) tan89°27′≈ ___________ (精确到0.000 1)；
(3) 若tan α=1.286 8，则锐角α ≈ _______(精确到0.1°) ；
(4) 若tan α=108.572 9，则锐角α ≈ _____(精确到0.1°).
0.3889
104.1709
52.1°
89.5°
做一做
从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角 α ，它的正弦sin α(或余弦cos α，或正切tanα)都有唯一确定的值与它对应，并且当锐角 α 变化时，相应的sinα(cosα，tanα)的值也随之变化，习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数.
练习
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7， BC=5，求 tan A，tan B 的值．
解：根据题意作出Rt△ABC.
A
B
C
4.计算：
（1）1+ tan260°； （2） tan30°cos30°.
解：1+ tan260°
解：tan30°cos30°
3. 用计算器求下列锐角的正切值(精确到0.0001):
（1） 9°42′； （2） 68°12′45″.
解：（1）tan9°42′ ≈ 0.170 9；
（2）tan68°12′45″ ≈ 2.5108；
4. 已知下列正切值，用计算器求对应的锐
角 (精确到0.1°).
（1）tan α=0.108 7； （2）tan α=89.708 1.
解：（1）α ≈ 6.2°；
（2）α ≈ 89.4°.
课堂小结
在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作 tan A，即
A
B
C
斜边b
对边a
图2.2-2
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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