资源简介

(共23张PPT)
湘教·九年级上册
2.3 解直角三角形
新课导入
在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 对于这类问题，我们一般利用锐角三角函数的有关知识来解决.
任意给定一个锐角 α ，它的正弦sin α(或余弦cos α，或正切tanα)都有唯一确定的值与它对应，并且当锐角 α 变化时，相应的sinα(cosα，tanα)的值也随之变化，习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数.
什么是锐角三角函数？
下列特殊角的三角函数值分别是什么？
α 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
1
说一说
探究新知
如图2.3-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
1.直角三角形的三边之间有什么关系？
a2+b2=c2(勾股定理)
2.直角三角形的锐角之间有什么关系？
∠A+∠B=90°
A
B
C
a
b
c
图2.3-1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
A
B
C
a
b
c
图2.3-1
总结
(1) 三边之间的关系a2+b2=c2(勾股定理)
(2) 两锐角之间的关系∠A+∠B=90°
(3) 边角之间的关系
B
A
C
a
b
c
例1：如图2.3-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5. 求∠B、b、c.
解：∠B=90°－∠A=90° －30°=60°.
因为
所以
因为
所以
还可以用勾股定理求c.
A
B
C
a
b
c
30°
图2.3-2
随堂诊断
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=12. 求∠B、b、c.
A
B
C
a
b
c
解：∠B=90°－∠A=90° －30°=60°.
因为
所以
因为
所以
在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是边) ，就可以求出其余的 3 个未知元素.
像这样，由直角三角形中已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
总结
A
B
C
a
b
c
例2：如图2.3-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，
cos A= ，BC=5，试求 AB 的长.
A
B
C
解：因为∠C=90°，cos A= ，
所以
设AB=x，则AC= x.
又AB2=AC2+BC2，
所以
因此
所以AB的长为 .
于是
图2.3-3
随堂诊断
A
B
C
a
b
c
2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，b= ，c=
求∠B、 ∠C、 a.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得
因为
所以 ∠C = 30°.
所以∠B=90°－∠C=90°－30°=60°.
3.如图，在△ABC中，∠B=45°， ∠C =30°，AB= ，求AC、 BC的长.
A
B
C
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
D
在Rt△ABD中， ∠B=45°，
所以 AD=BD=AB·sin B= ·sin45°=4.
在Rt△ACD中， ∠C=30°，
AC = 2AD = 8，
所以BC=BD+CD =
解直角三角形的基本类型和方法
已知条件 图示 解法步骤
两边 两直角边
斜边和一直角边
已知条件 图示 解法步骤
一边一角 一锐角和一直角边 两直角边
斜边和一直角边
已知条件 图示 解法步骤
一边一角 一锐角和一斜边
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，b=3 cm，求a，c.
解：∠A=90°－∠B=90°－45°= 45°.
所以 a = b = 3 cm.
因为
所以
练习
C
A
B
a
c
b
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
c=16cm，求a，b.
解：根据题意作Rt△ABC ，
因为
所以 a=c·sin A=16·sin30°=8 cm.
又因为
所以
C
A
B
a
b
c=16
3. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a=6cm ，
c=10cm，求b，∠A，∠B (可利用计算器求角度，精确到1°).
解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知
因为
所以 ∠A≈37°.
所以∠B=90°－∠A=90°－37°=53°.
C
A
B
a
c
b
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B的
平分线BD的长为8，求这个三角形的三条边的长．
所以
解：如图所示，由题意可知：
∠CBD= ∠ABC= ×(90°－30°)=30°
所以
所以
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°
A
30°
C
B
D
5. 如图，在三角形纸片ABC中，∠C = 90°，
AC=6，折叠该纸片，使点 C 落在AB边上的 D 点处，折痕 BE 与 AC 交于点 E，若 AD = BD，则折痕 BE的长为多少？
解：因为△BDE是由△BCE翻折而成，
所以BC=BD，∠BDE=∠C=90°，
因为AD=BD，
所以AB=2BC，AE=BE，
所以∠A=30°，
在Rt△ABC中，AC=6，
所以BC=AC·tan30°=
设BE=x，则CE=6-x，
在Rt△BCE中，
因为
所以
解得x=4，即BE=4．
课堂小结
解直角三角形
由直角三角形中已知元素求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
两边：两直角边或斜边和一直角边
一边一角：一锐角个位斜边、一锐角个一直角边(邻边或对边)
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

展开更多......

收起↑