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湘教·九年级上册
与坡度、坡角有关的实际问题
新课导入
知者乐水，仁者乐山。
衡量山“险”与“不险”的标准是什么？
探究新知
如图2.4-4，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？
观 察
右边的路BD 陡些
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
图2.4-4
如图2.4-5，从坡脚点A上坡走到点B时，升高
的高度 h (即线段BC的长度)与水平前进的距离 l (即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
(坡度通常写成 1∶m 的形式)．
坡度越大，山坡越陡．
图中 ∠BAC叫作坡角 (山坡与地平面的夹角) 记作α
图2.4-5
坡度等于坡角的正切
例2：如图2.4-6，一山坡的坡度 i = 1∶2 . 小华从山
脚 A 出发， 沿山坡向上到达点 B. 已知 A，B 两点间的直线距离为 240m，问：他从点 A 到点 B 高度上升了多少米(tan26.57°≈ 0.5， sin26.57°≈ 0.447，结果精确到0.1m)？
i=1∶2
图2.4-6
解：由于坡度i =1∶2，即
又 tan26.57°≈ 0.5，于是∠BAC ≈26.57°.
在Rt△ABC中， ∠C =90°，AB=240m ，
所以
因此 BC ≈ 240×0.447 ≈ 107.3(m) ．
答：小华从点 A 到点 B 高度上升了约107.3米．
又 sin26.57°≈ 0.447，
你还可以用其他方法求出BC吗？
随堂诊断
1. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD ＝ 3m ，坝高AE=DF=6m，坡角α ＝ 45°，β ＝30°，求 BC 的长.
解：因为坝高 AE=DF，且AE⊥BC， DF⊥BC，
所以四边形AEFD是矩形，
所以 EF = AD =3m.
因为 坡角α ＝ 45°，β ＝30°，
所以 BE = AE =6m，
所以 BC = BE+EF+CF=
答： BC 的长为
2. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的
步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形，DE=10m， 其坡度为 i1 =1∶3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2 =1∶4，求斜坡AF的长度. (结果精确到 0.01m 参考数据： .)
解：因为DE的坡度为i1 =1∶ ，
所以∠DEC =30°，
在Rt△DEC中，
因为四边形ABCD为矩形，
所以AB = CD = 5m.
因为斜坡AF的坡度为i2=1∶ 4，
所以BF = 4AB = 20m.
在Rt△ABF中，
答：斜坡AF的长度为 20.62m.
练习
1. 一种等腰三角形坡屋顶的设计图如图所示. 其中坡角为 α .已知屋顶的宽度 l 为 12m，坡屋顶的高度 h 为4m. 分别求屋顶斜面坡度、斜面 AB 的长度和坡角 α 的正弦值、余弦值.
【选自教材P82 练习 第1题】
A
B
C
h
l
α
A
B
C
h
l
α
解：设CB中点为D ，则由题意可知
在Rt△ABD中，
AD = h= 4 m，
由勾股定理得
D
答：屋顶斜面坡度为 ，斜面AB的长度为 ，坡角α的正弦值为 ，余弦值为 .
2.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间
的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=5.5，∠A=24°，
在Rt△ABC中，
所以AB=
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0m．
3.如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m，
坝高 23 m，斜坡AB的坡度 i=1∶3，斜坡CD的坡度i =1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽 AD 和斜坡 AB的长(精确到0.1m)．
E
F
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
所以 AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
所以AD = AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度
所以 α ≈ 18.43°.
因为
所以
E
F
答：斜坡AB的坡面角α为18.43°，坝底宽 AD为132.5m ，斜坡 AB的长为72.7m ．
4.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚
C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发.如图，已知小山北坡的坡度i=1∶ ，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？(将山路AB、AC看成线段，结果保留根号)
解：过点 A 作 AD⊥BC于点D，
在Rt△ADC中，由i=1∶ 得
所以 ∠C=30°．
所以
在Rt△ABD中，∠B=45°，
所以
答：李强以12 米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．
D
课堂小结
从坡脚点A上坡走到点B时，升高的高度h(即线段BC的长度)与水平前进的距离l(即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
(坡度通常写成1∶m的形式)．
图中 ∠BAC叫作坡角 (山坡与地平面的夹角) 记作α
坡度越大，山坡越陡．
坡度等于坡角的正切
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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